2020高考数学 艺考生冲刺 第一章 集合、常用逻辑用语、推理与证明、复数、程序框图 第2讲 复数、

知识梳理典例变式基础训练能力提升第2讲复数、推理与证明知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类:复数z=a+bi(a,b∈R)实数(𝑏=0),虚数(𝑏≠0)纯虚数(𝑎=0,𝑏≠0),非纯虚数(𝑎≠0,𝑏≠0).(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模:向量𝑂𝑍的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(𝑎2+𝑏2)(r≥0,a,b∈R).知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.复数的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).3.复数的几何意义(1)复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.(3)复数的几何表示:复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b),一一对应平面向量𝑂𝑍.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.合情推理类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)模式:“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理,直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→(P1⇐P2)→…→得到一个明显成立的条件知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.7.用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设􀱑q第三步由p和􀱑q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设􀱑q不真,于是结论q成立,从而间接地证明了命题p⇒q为真知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理8.常见的结论和反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有(n-1)个至多有n个至少有(n+1)个都是不都是对任意x成立存在某个x不成立对任意x不成立存在某个x成立知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理原结论词反设词p或q􀱑p且􀱑qp且q􀱑p或􀱑q不都是都是知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例1】(1)设i是虚数单位,若复数a-103-i(a∈R)是纯虚数,则a的值为()A.-3B.-1C.1D.3(2)若3+𝑏i1-i=a+bi(a,b∈R),则a+b=.【解析】(1)复数a-103-i=a-10(3+i)10=(a-3)-i为纯虚数.∴a-3=0,∴a=3.(2)由已知得3+bi=(1-i)(a+bi)=a+bi-ai-bi2=(a+b)+(b-a)i,根据复数相等的条件,得𝑎+𝑏=3,𝑏-𝑎=𝑏,∴𝑎=0,𝑏=3,∴a+b=3.【答案】(1)D(2)3知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.设m∈R,复数z=m2-1+(m+1)i表示纯虚数,则m的值为()A.1B.-1C.±1D.02.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2A【解析】由题意得𝑚2-1=0,𝑚+1≠0,解得m=1,故选A.B【解析】因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,所以|x+yi|=|1+i|=12+12=2.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.(2019·太原模拟)设复数z满足1-𝑧1+𝑧=i,则z的共轭复数为()A.iB.-iC.2iD.-2i4.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3A【解析】(1)由1-𝑧1+𝑧=i得1-z=i+zi.即(1+i)z=1-i,则z=1-i1+i=-i,因此𝑧=i,故选A.A【解析】(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知a-2=1+2a,解得a=-3,故选A.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二复数的运算【例2】(1)(2018·天津卷)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.(2)(2018·江苏卷)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.(3)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z等于()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i𝑧知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6+14+7i-12i5=4-i.(2)z=1+2ii=(1+2i)(-i)i(-i)=2-i,故z的实部为2.(3)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以2(a+bi)+(a-bi)=3-2i,整理得3a+bi=3-2i,所以3𝑎=3,𝑏=-2,解得𝑎=1,𝑏=-2,𝑧所以z=1-2i,故选B.【答案】(1)4-i(2)2(3)B知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.(2019·合肥模拟)已知i为虚数单位,则(2+i)(3-4i)2-i=()A.5B.5iC.-75−125iD.-75+125i2.(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为,若(1-i)=2i(i为虚数单位),则z=()A.iB.i-1C.-i-1D.-i𝑧𝑧A【解析】1.法一:(2+i)(3-4i)2-i=10-5i2-i=5,故选A.法二:(2+i)(3-4i)2-i=(2+i)2(3-4i)(2+i)(2-i)=(3+4i)(3-4i)5=5,故选A.C【解析】由已知可得𝑧=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i,则z=-1-i,故选C.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.(2019·南昌模拟)设z的共轭复数是𝑧,若z+𝑧=2,z2=-2i,则z=()A.12−12iB.12+12iC.1+iD.1-iD【解析】对四个选项逐一验证可知,当z=1-i时,符合题意,故选D.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型三复数的几何意义【例3】(1)(2019·郑州模拟)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)(2)(2017·湖南一模)已知复数z=11-i,则z-|z|对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,其在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,【答案】(1)B(2)B【规律方法】复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.故𝑎+10,1-𝑎0,解得a-1,故选B.(2)因为复数z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,所以z-|z|=12+12i-122+122=1-22+12i,对应的点所在的象限为第二象限.故选B.𝑂𝑍𝑂𝑍知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练三1.(2019·广州模拟)设z=1+i(i是虚数单位),则复数+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2𝑧2.在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+iA【解析】因为z=1+i,所以2𝑧+z2=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+1+2i+i2=2(1-i)2+2i=1+i,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故选A.C【解析】依题意得,复数z=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1),其对应的复数为-2+i,故选C.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型四合情推理、演绎推理【例4】(1)给出以下数对序列:(1,1);(1,2)(2,1);(1,3)(2,2)(3,1);(1,4)(2,3)(3,2)(4,1);……记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=()A.(m,n-m+1)B.(m-1,n-m)C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m)(2)已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+1x≥2,x+4x2=x2+x2+4x2≥3,x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4,…,归纳得x+𝑎x𝑛≥n+1(n∈N*),则a=.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)由已知可得,第i行第j列个数对aij=(j,i-j+1),因此anm=(m,n-m+1),故