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知识梳理典例变式基础训练能力提升第一章集合、常用逻辑用语、推理与证明、复数、程序框图知识梳理典例变式基础训练能力提升第1讲集合与常见逻辑用语知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.集合的有关概念(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.2.常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理3.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A中是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⫋B或B⫌A相等集合A中的每一个元素都是集合B的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⫋B且B≠∅知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B={x|x∈A,或x∈B}集合的交集A∩BA∩B={x|x∈A,且x∈B}知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理符号表示图形表示符号语言集合的补集若全集为U,则集合A的补集为∁UA∁UA={x|x∈U,且x∉A}知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.四种命题的关系与真假判断(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.命题p∧q、p∨q、-p的真假判定pqp∧qp∨q-p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真,一假则假;p∨q一真则真,两假才假;-p与p真假相反”.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理7.量词(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)否定∃x0∈M,-p(x0)∀∈M,-p(x)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理8.条件问题(1)充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)充要条件常用的三种判断方法①定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.②等价法:利用A⇒B与B⇒A,B⇒A与A⇒B,A⇔B与B⇔A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.③利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.(3)判断充要条件需注意三点①要分清条件与结论分别是什么;②要从充分性、必要性两个方面进行判断;③直接判断比较困难时,可举出反例说明.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一集合的基本概念【例1】(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为()A.3B.4C.5D.6(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7;当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8.即M={5,6,7,8},共有4个元素.(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a=0时,x=23,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=98,所以a的取值为0或98.【答案】(1)B(2)D知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,要注意检验集合是否满足元素的互异性.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.已知集合A={x|x∈Z,且∈Z},则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.532-𝑥2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.C【解析】因为32-𝑥∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为3,5,-1,1,故集合A中的元素个数为4.-32【解析】由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-32.当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,而2m2+m=3,故m=-32.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A={x|4≤2x≤16},B[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是.(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为.【解析】(1)集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A⊆B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].(2)因为B⊆A,所以①若B=∅,则2m-1m+1,此时m2.②若B≠∅,则2𝑚-1≥𝑚+1,𝑚+1≥-2,2𝑚-1≤5.解得2≤m≤3.由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3.【答案】(1)(-∞,-2](2)(-∞,3]知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.易错警示:B⊆A(A≠∅),应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.已知集合A={x|1≤x5},C={x|-ax≤a+3}.若A∩C=C,则a的取值范围是.(-∞,-1]【解析】由C∩A=C,得C⊆A.当C=∅时,-a≥a+3,得a≤-32.当C≠∅时,根据题意作出如下图所示的数轴,可得-𝑎𝑎+3,-𝑎≥1,𝑎+35,解得-32a≤-1.综上,a的取值范围为(-∞,-1].知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.已知集合A={x|-1x3},B={x|-mxm}.若B⊆A,则m的取值范围为.(-∞,1]【解析】当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.当m0时,因为A={x|-1x3}.当B⊆A时,在数轴上标出两集合,如图,所以-𝑚≥-1,𝑚≤3,-𝑚𝑚.所以0m≤1.综上所述m的取值范围为(-∞,1].知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型三集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.高考对集合运算的考查主要从以下三个角度命题:①求集合间的交或并运算;②求集合的交、并、补的混合运算;③已知集合的运算结果求参数的值(范围).知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【例3】(1)(2019·桂林模拟)已知集合M={x|-1x3},N={-1,1},则下列关系正确的是()A.M∪N={-1,1,3}B.M∪N={x|-1≤x3}C.M∩N={-1}D.M∩N={x|-1x1}(2)设集合A={x|-1≤x2},B={x|xa},若A∩B≠∅,则a的取值范围是()A.-1a≤2B.a2C.a≥-1D.a-1(3)(2019·厦门模拟)已知集合A={x|xa},B={x|x2-3x+20},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a1C.a≥2D.a2知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)M∪N={x|-1≤x3},M∩N={1},故选B.(2)由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a-1,故选D.(3)B={x|1x2},由A∩B=B知B⊆A,则a≥2,故选C.【答案】(1)B(2)D(3)C知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】解决集合运算问题需注意以下三点(1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解.(3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,并注意端点值的取舍.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练三1.(2017·北京卷)若集合A={x|-2x1},B={x|x-1或x3},则A∩B=()A.{x|-2x-1}B.{x|-2x3}C.{x|-1x1}D.{x|1x3}A【解析】由集合交集的定义可得A∩B={x|-2x-1},故选A.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}3.(2019·东北三省四市联考)设集合A={x||x|1},B={x|x(x-3)0},则A∪B=()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,3)D.(1,3)C【解析】因为U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},所以∁UP={2,4,6},因为Q={1,2,4},所以(∁UP)∪Q={1,2,4,6}.【解析】A={x|-1x1},B={x|0x3},所以A∪B={x|-1x3},故选C.C知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式4.已知集合A={x|x2-5x-60},B={x|2x1},则图中阴影部分表示的集合是.{x|0≤x6}【解析】由x2-5x-60,解得-1x6,所以A={x|-1x6}.由2x1,解得x0,所以B={x|x0}.又图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A,因为∁UB={x|x≥0},所以(∁UB)∩A={x|0≤x6}.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型四判断含逻辑词连接的命题的真假【例4】已知命题p:若xy,则-x-y;命题q:若xy,则x2y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(-q);④(-p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】p为真;对于命题q:若xy,令x=1,y=-2,显然x2y2,命题q为假命题.则p为假命题,-q为真命题,因此p∧q为假,p∨q为真,p∧(-q)为真,(-p)∨q为假,故选C.【答案】C【规律方法】“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式.(2)判断其中命题p,q的真假.(3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,来确定“p∧q”“p∨q”“p”等形式命题的真假.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练四(20