2020高考数学 艺考生冲刺 第七章 概率与统计 第22讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差（理）

知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第22讲离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.离散型随机变量的分布列(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.(2)性质①pi≥0(i=1,2,…,n);②∑𝑖=1𝑛pi=1.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpnD(X)=∑i=1n(xi-E(X))2pi作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根D(X)为随机变量X的标准差3.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理4.条件概率与事件的相互独立(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)·P(B).②如果事件A与B相互独立,那么A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也都相互独立.(3)条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理5.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率,在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).(3)二项分布的均值与方差若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).C𝑛𝑘知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理6.超几何分布(1)定义:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=𝐶𝑀𝑘𝐶𝑁-𝑀𝑛-𝑘𝐶𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如果随机变量X的分布列具有下表形式X01…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶Nn则称随机变量X服从超几何分布.(2)均值若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=𝑛𝑀𝑁.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理7.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【注意】正态分布的三个常用数据(1)P(μ-σX≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σX≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σX≤μ+3σ)≈0.9973.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一离散型随机变量的分布列的性质与均值【例1—1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列.【解析】由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.首先列表为:X012342X+113579从而2X+1的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【例1—2】(2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【规律方法】(1)离散型随机变量分布列性质的应用①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负;②若X为随机变量,则2X+1仍然为随机变量,求其分布列时可先求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.(2)求离散型随机变量X的均值的方法①理解X的意义,写出X可能取的全部值;②求X取每个值的概率;③写出X的分布列;④由均值的定义求E(X).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一1.随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=,公差d的取值范围是.23-13,13【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13,所以P(|X|=1)=a+c=23.又a=13-d,c=13+d,根据分布列的性质,得0≤13-d≤23,0≤13+d≤23,所以-13≤d≤13.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式2.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下:ξ3456Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)=4.3,则y的值为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1C【解析】由题意知,x+0.1+0.3+y=1,又E(ξ)=3x+4×0.1+5×0.3+6y=4.3,两式联立解得y=0.2.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式3.根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示.(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值;(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群,其他年龄段的人群定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此3人获得代金券总和X的分布列与数学期望.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式解:(1)由题意可知2𝑏=𝑎+0.015,(0.01+0.015×2+𝑏+𝑎)×10=1,解得a=0.035,b=0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人,其中属于高消费人群的有6人,属于潜在消费人群的有4人.从中抽取3人,并计算3人所获得代金券的总和X,则X的所有可能取值为:150,200,250,300,P(X=150)=C63C103=16,P(X=200)=C62C41C103=12,P(X=250)=C61C42C103=310,P(X=300)=C43C103=130.故X的分布列为X150200250300P1612310130E(X)=150×16+200×12+250×310+300×130=210.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型二离散型随机变量的均值与方差的应用【例2】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X元.①依题意,得P(X=60)=C31C42=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32C42=12,即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).X2060P0.50.5知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为X12060100P162316知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式X1的期望为E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为X2406080P162316X2的期望为E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.知识梳理典例变式基础训练能