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知识梳理典例变式基础训练能力提升第七章概率与统计知识梳理典例变式基础训练能力提升第19讲随机事件的概率、古典概型、几何概型知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.随机事件及概率(1)事件的相关概念(2)频数与概率①频数:在相同条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数m为事件A的频数,那么事件A出现的频率fn(A)=,频率的取值范围为0,1.②概率:对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在某个常数上,我们把这个常数记为P𝐴,称为事件A的概率.𝑚𝑛知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)事件间的关系及运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊆B,则事件A与事件B相等A=B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(A+B)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(A·B)互斥事件若为A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥A∩B=Φ对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(4)概率的几个基本性质①概率的取值范围:0≤P𝐴≤1.②必然事件的概率:P𝐴=1.③不可能事件的概率:P𝐴=0.④互斥事件的概率加法公式:a.P𝐴⋃𝐵=P𝐴+P𝐵𝐴,𝐵互斥;b.P𝐴1⋃𝐴2𝑈…⋃𝐴𝑛=P𝐴1+P𝐴2+…+P𝐴𝑛𝐴1,𝐴2…𝐴𝑛彼此互斥;⑤对立事件的概率公式:P𝐴—=1-PA.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.古典概型和几何概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型及特点具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.②每个基本事件出现的可能性相等.(3)古典概型的概率公式:PA=A包含的基本事件的个数基本事件的总数知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(4)几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A,A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.(5)几何概型的两个基本特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个.②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(6)几何概型的概率计算公式:PA=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一随机事件与概率考点一随机事件之间的关系【例1-1】对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是,互为对立事件的是.【解析】设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B=∅,B∩C=∅,A∩C=∅,B∩D=∅,故A与B,B与C,A与C,B与D为互斥事件.而B∩D=∅,B∪D=I,故B与D互为对立事件.【答案】A与B,A与C,B与C,B与DB与D知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件.(2)集合法:①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.𝐴知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式考点二随机事件的概率与频率【例1-2】(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式考点三互斥事件与对立事件概率公式的应用【例1-3】某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【解】(1)P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C)=501000=120.故事件A,B,C的概率分别为11000,1100,120.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.∵A,B,C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+501000=611000,故1张奖券的中奖概率约为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-11000+1100=9891000,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】复杂事件的概率的两种求法(1)直接求法,将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(𝐴)求解(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就比较简便.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡A【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“2张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额/元01000200030004000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15,P(B)=1201000=0.12.由于投保额为2800元,赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000=100(位),而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24(位),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率是P(C)=0.24.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:派出人数≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.解:(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二古典概型【例2】一枚硬币连掷2次,只有一次出现正面的概率为()A.23B.14C.13D.12【解析】一枚硬币连掷2次,基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),而只有一次出现正面的事件包括(正,反),(反,正),故其概率为24=12.【答案】D【规律方法】知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.9252.(基础经典试题)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则ba的概率是()A.45B.35C.25D.15B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊,从中随机选出2人的方法有:(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共有10种选法,其中只有前4种是甲被选中,所以所求概率为410=25.故选B.D【解析】基本事件的个数有5×3=15(种),其中满足ba的有3种,所以ba的概率为315=15.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上,乙正好坐中间的概率为()A.12B.13C.14D.164.口袋里装有红球、白球、黑球各1个,这3个球除颜色外完全相同,有放回的连续抽取2次,每次从中任意地取出1个球,则两次取出的球颜色不同的概率是()A.29B.13C.23D.89【解析】甲、乙、丙坐一排的基本事件有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6个,乙正好坐中间的基本事件有2个.故所求概率P=26=13.故选B.B【解析】由题意知,基本事件总数n=3×3=9,能两次取出的