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知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第18讲导数的概念与运算知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.导数的概念与运算(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(x0+Δx)-𝑓(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0Δ𝑦Δx=limΔx→0𝑓(x0+Δx)-𝑓(x0)Δx.(2)函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limΔx→0𝑓(x+Δx)-𝑓(x)Δx为f(x)的导函数.(3)基本初等函数的导数公式原函数sinxcosxax(a0)exlogax(a0,且a≠1)lnx导函数cosx-sinxaxlnaex1x𝑙𝑛a1x知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理(4)导数运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);𝑓(x)𝑔(x)'=𝑓'(x)𝑔(x)-𝑓(x)𝑔'(x)[𝑔(x)]2(g(x)≠0).(5)复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.(6)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间(1)函数的单调性在(a,b)内函数f(x)可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.(2)辨明导数与函数单调性的关系(1)f'(x)0(或0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件;(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.【注意】由函数f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得f'(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是f'(x)0(或0)恒成立,“=”不能少.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理3.利用导数解决函数的极值问题(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近的其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理4.函数的最值与导数(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一导数的运算【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=ex·cosx(2)y=xx2+1x+1x3(3)y=x-sinx2cosx2【解析】(1)y'=(ex)'·cosx+ex(cosx)'=ex·cosx-exsinx(2)y=x3+1+1x2,∴y'=3x2-2x3(3)y=x-sinx2cosx2=x-12sinx∴y'=x-12sinx'=1-12cosx.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【规律方法】知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一1.分别求下列函数的导数.(1)y=lnxx.(2)y=sin2x2.解:(1)y'=ln𝑥𝑥'=(ln𝑥)'·𝑥-𝑥'ln𝑥𝑥2=1-ln𝑥𝑥2.(2)∵y=sin2𝑥2=12(1-cosx)=12−12cosx∴y'=-12(cosx)'=-12·(-sinx)=12sinx.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型二导数的几何意义及应用考法一求切线方程【例2-1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x(2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.(2)∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+lnx,∴直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.∴由𝑦0=x0lnx0,𝑦0+1=(1+lnx0)x0,解得x0=1,y0=0.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.【答案】(1)D(2)x-y-1=0知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式考法二求切点坐标【例2-2】设函数f(x)=x3+ax2.若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】由f(x)=x3+ax2得f‘(x)=3x2+2ax,设y0=f(x0),由题意可得x03+𝑎x02=𝑦0,①x0+𝑦0=0,②3x02+2𝑎x0=-1.③由①②可得x03+ax02=-x0,即x0(x02+ax0+1)=0.④由③可得3x02+2ax0+1=0.⑤由⑤可得x0≠0,所以④式可化为x02+ax0+1=0.⑥由⑤⑥可得x0=±1,代入②式得x0=1,𝑦0=-1或x0=-1,𝑦0=1.即P(1,-1)或P(-1,1).故选D.【答案】D知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式考法三求参数的值【例2-3】(1)已知函数f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然对数的底数,a∈R),若f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x+y-1=0垂直,则a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)已知直线y=12x+b与曲线y=-12x+lnx相切,则b的值为()A.2B.-1C.-12D.1知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】(1)f'(x)=(x2+ax-1)'ex+(x2+ax-1)(ex)'=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex=[x2+(a+2)x+(a-1)]ex,故f'(0)=[02+(a+2)×0+(a-1)]e0=a-1.因为f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x+y-1=0垂直,故f'(0)=1,即a-1=1,解得a=2.(2)设切点的坐标为(x0,y0),所以y'=-12+1x,则y'|x=x0=-12+1x0,由-12+1x0=12得x0=1.因为切点(1,y0)在曲线y=-12x+lnx的图象上,所以y0=-12.即切点坐标为1,-12,又切点1,-12在直线y=12x+b上,故-12=12+b,所以b=-1,故选B.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【答案】(1)C(2)B【规律方法】导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).(2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由𝑦1=𝑓(x1),𝑦0-𝑦1=𝑓'(x1)(x0-x1)求解即可.(3)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练二1.曲线f(x)=x2+𝑎x+1在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为3π4,则实数a=()A.1B.-1C.7D.-72.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.C【解析】f'(x)=2𝑥(𝑥+1)-(𝑥2+𝑎)(𝑥+1)2=𝑥2+2𝑥-𝑎(𝑥+1)2,∵f'(1)=tan3π4=-1,即3-𝑎4=-1,∴a=7.(e,e)【解析】由题意得y'=lnx+x·=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).1𝑥知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式3.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为.y-3=0【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,即f'(3)=-13.又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g'(3)=1+3×-13=0.则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型三利用导数研究函数的单调性【例3-1】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围;(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解】(1)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围为(-∞,3].(2)因为f(x)在区间(-1,1)上为减函数,所以f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x23,所以a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).(3)因为f(x)=x3-ax-1,所以f'(x)=3x2-a.由f'(x)=0,得x=±3𝑎3(a≥0).因为f(x)的单调递减区间为(-1,1),所以3𝑎3=1,即a=3.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【例3-2】已知函数f(x)=ex2−1ex-ax(a∈R),当a=32时,求函数f(x)的单调区间.【解】当a=32时,f(x)=e