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知识梳理典例变式基础训练能力提升第17讲函数与方程知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.3.明确三个等价关系(三者相互转化)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)(或(x2,0))无交点零点个数210知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一函数零点所在区间的判断【例1】(1)函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(1,e)和(3,4)D.(e,+∞)(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=lnx,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)2x知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)因为f'(x)=1x+2x20(x0),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(3)=ln3-230,f(2)=ln2-10,所以f(2)·f(3)0,所以f(x)唯一的零点在区间(2,3)内.故选B.(2)h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标,其大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围为(0,1),故选A.【答案】(1)B(2)A知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律总结】判断函数零点所在区间的三种方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)定理法:利用函数零点的存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一已知函数f(x)=lnx-12x-2的零点为x0,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C【解析】因为f(x)=lnx-12x-2在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=ln1-12-1=ln1-20,f(2)=ln2-1200,f(3)=ln3-1210,所以x0∈(2,3),故选C.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二函数零点个数的问题【例2】(1)函数f(x)=x2+x-2,x≤0,-1+lnx,x0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)=log2x,x0,3x,x≤0,若关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)法一:由f(x)=0得x≤0,x2+x-2=0或x0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,作出函数f(x)的图象(如图所示),结合函数图象可知a1.【答案】(1)B(2)(1,+∞)知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】判断函数零点个数的三种方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3C【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x0),y2=lnx(x0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.已知函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x0,则函数y=f(f(x))+1的零点的个数是()A.4B.3C.2D.1A【解析】由f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1,由f(-2)=f12=-1得f(x)=-2或f(x)=12.若f(x)=-2,则x=-3或x=14;若f(x)=12,则x=-12或x=2.综上可得函数y=f(f(x))+1的零点的个数是4,故选A.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型三函数零点的应用(高频考点)函数零点的应用是每年高考的重点,多以选择题或填空题的形式考查,难度中档及以上.主要命题角度有:①已知函数在某区间上有零点求参数;②已知函数零点或方程根的个数求参数.考法一根据零点的范围求参数【例3-1】若函数f(x)=log2x+x-k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点,则k=.【解析】函数f(x)=log2x+x-k在(2,3)上单调递增,所以f(2)·f(3)0,即(log22+2-k)·(log23+3-k)0,整理得(3-k)(log23+3-k)0,解得3k3+log23,而43+log235,因为k∈Z,故k=4.【答案】4知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式考法二已知函数零点或方程根的个数求参数【例3-2】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)=|x|,x≤𝑚,x2-2𝑚x+4𝑚,x𝑚,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.【解析】作出f(x)的图象如图所示.当xm时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2m,即m2-3m0.又m0,解得m3.【答案】(3,+∞)知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】已知函数的零点或方程根的个数,求参数问题的三种方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练三1.已知函数f(x)=log2(x+1),x0,-x2-2x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.(0,1)【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0A【解析】依题意,f(0)=-30,f(1)=e-20,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0a1,g(1)=-30,g(2)=ln2+30,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1b2,于是有f(b)f(1)0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)g(1)0,所以g(a)0f(b).知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练1.已知函数f(x)=6x-log2x,则f(x)的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,+∞)2.已知函数f(x)=12x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4C【解析】易知f(x)是单调函数,f(3)=2-log230,f(4)=32-log24=32-2=-120,故f(x)的零点所在的区间是(3,4).C【解析】作出g(x)=12x与h(x)=cosx的图象如图所示,可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练3.已知实数a1,0b1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)4.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)2xB【解析】因为a1,0b1,f(x)=ax+x-b,所以f(x)为增函数,f(-1)=-1-b0,f(0)=1-b0,则由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.1𝑎【解析】因为函数f(x)=2x-2𝑥-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2𝑥-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0.所以0a3.C知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练5.已知函数f(x)=ex+𝑎,x≤0,3x-1,x0(𝑎∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,0)C.(-1,0)D.[-1,0)D【解析】当x0时,f(x)=3x-1有一个零点x=,所以只需要当x≤0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x≤0时,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0).13知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练6.已知函数f(x)=-2,x0,-x2+𝑏x+𝑐,x≤0,若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为.3【解析】依题意得𝑐=-2,-1-𝑏+𝑐=1,解得𝑏=-4,𝑐=-2.令g(x)=0,得f(x)+x=0,该方程等价于①𝑥0,-2+𝑥=0,或②𝑥≤0,-𝑥2-4𝑥-2+𝑥=0,解①得x=2,解②得x=-1或x=-2,因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练7.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围为.[5,10)【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5.8.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是.(-∞,1)【解析】设函数f(x)=x2+mx-6,则根据条件有f(2)0,即4+2m-60,解得m1.知识梳理典例变式基础训练能力提升基础训练9.已知函数f(x)=x3-x2+x2+14.证明:存在x0∈0,12,