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知识梳理典例变式基础训练能力提升第六章函数、导数及其应用知识梳理典例变式基础训练能力提升第15讲函数与函数图象及性质知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.3.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理4.函数的单调性与最值(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.(3)函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意x∈I,都有f(x)≤M;对于任意x∈I,都有f(x)≥M;存在x0∈I,使得f(x0)=M存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值(4)函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理5.函数的奇偶性与周期(1)定义奇函数偶函数定义一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称(2)函数奇偶性常用结论如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理6.函数的图象(1)利用描点法画函数图象的流程知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)利用图象变换法作函数的图象平移变换:y=f(x)y=f(x-a);y=f(x)y=f(x)+b.伸缩变换:y=f(x)y=f(ωx).y=f(x)y=Af(x).知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理对称变换:y=f(x)y=-f(x);y=f(x)y=f(-x);y=f(x)y=-f(-x).翻折变换:y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一求函数定义域【例1】(1)函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1](2)函数f(x)=lg(x+1)x-1的定义域是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)由题意知1-2x≥0x+30,解得-3x≤0,所以函数f(x)的定义域为(-3,0],故选A.(2)要使函数f(x)=lg(x+1)x-1有意义,需满足x+10且x-1≠0,得x-1且x≠1.故选C.【答案】(1)A(2)C【规律方法】知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【易错警示】求定义域时,对解析式不要化简,求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式.【注意】不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.函数y=ln(x+1)-x2-3x+4的定义域为()A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]2.函数f(x)=ln1+1x+1-x2的定义域为.C【解析】𝑥+10,-𝑥2-3𝑥+40,解得-1x1.x∈(0,1]【解析】由条件1+1𝑥0,𝑥≠0,1-𝑥2≥0,⇒𝑥-1或𝑥0,𝑥≠0,-1≤𝑥≤1⇒x∈(0,1].知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式3.(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域;(2)已知函数f(x2)的定义域为(2,4),求f(x)的定义域;(3)已知函数f(x2)的定义域为(1,2),求f(2x+1)的定义域.解:(1)f(x)的定义域为(0,1),即0x1,故0x21,∴-1x1且x≠0,∴f(x2)的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)f(x2)的定义域为(2,4),即2x4,∴4x216,故f(x)的定义域为(4,16).(3)∵f(x2)的定义域为(1,2),即1x2,∴1x24.故需12x+14,∴0x32.∴f(2x+1)的定义域为0,32.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型二函数的解析式【例2】(1)如果f1x=x1-x,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于()A.1xB.1x-1C.11-xD.1x-1(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.(3)已知f(x)+2f1x=x(x≠0),那么f(x)=.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(2)设f(x)=ax+b(a≠0)则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b即ax+5a+b=2x+17,不论x为何值都成立.∴𝑎=2,𝑏+5𝑎=17,解得𝑎=2,𝑏=7.∴f(x)=2x+7.(3)∵f(x)+2f1x=x,∴f1x+2f(x)=1x.联立方程组𝑓(x)+2𝑓1x=x,𝑓1x+2𝑓(x)=1x,解得f(x)=23x−x3(x≠0).【解析】(1)令1x=t,得x=1𝑡,∴f(t)=1𝑡1-1𝑡=1𝑡-1∴f(x)=1x-1.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【答案】(1)B(2)2x+7(3)23x−x3【规律方法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)消去法:已知关于f(x)与f1x或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x);(4)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),即得f(x)的表达式.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练二1.已知fx+1x=x2+1x2,则f(x)=.2.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1x·x-1,则f(x)=.f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2)【解析】∵f𝑥+1𝑥=x2+1𝑥2=𝑥+1𝑥2-2.且x+1𝑥≥2或x+1𝑥≤-2,∴f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2).f(x)=23𝑥+13【解析】在f(x)=2f1𝑥·𝑥-1中,用1𝑥代替x.得f1𝑥=2f(x)·1𝑥-1将f1𝑥=2𝑓(𝑥)𝑥-1代入f(x)=2f1𝑥𝑥-1中可求得f(x)=23𝑥+13.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型三函数的单调性【例3】(1)(2019·郑州模拟)函数y=132x2-3x+1的单调递增区间为()A.(1,+∞)B.-∞,34C.12,+∞D.34,+∞(2)(2019·青岛模拟)已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)0的a的取值范围是()A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2)D.(0,2)(3)若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()A.-14,+∞B.-14,+∞C.-14,0D.-14,0知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(4)已知函数f(x)=(𝑎-2)x-1,x≤1,log𝑎x,x1,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)令t=2x2-3x+1,则t=2x-342−18.又函数y=13𝑡是减函数,因此函数y=132x2-3x+1的单调递增区间为-∞,34.故选B.(2)由题意知f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x),x∈(-1,1),∴f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.又f'(x)=3x2+cosx0,∴f(x)在区间(-1,1)上单调递增,∵f(a2-1)+f(a-1)0,∴-f(a-1)f(a2-1),∴f(1-a)f(a2-1),∴-11-𝑎1,-1𝑎2-11,1-𝑎𝑎2-1,解得1a2,故选B.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式(3)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-1𝑎,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a0,且-1𝑎≥4,解得-14≤a0.综上所述,实数a的取值范围是-14,0.(4)要使函数f(x)在R上单调递增,则有𝑎1,𝑎-20,𝑓(1)≤0,即𝑎1,𝑎2,𝑎-2-1≤0,解得2a≤3,即实数a的取值范围是(2,3].【答案】(1)B(2)B(3)D(4)(2,3]知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)判断函数单调性的常用方法(2)确定函数的单调区间的方法知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练三1.已知f(x)=(3𝑎-1)x+4𝑎x1,log𝑎xx≥1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.0,13C.17,13D.17,1C【解析】当x=1时,loga1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a≥0在x1时恒成立.令g(x)=(3a-1)x+4a.则必有3𝑎-100𝑎1𝑔(1)≥0,即3𝑎-100𝑎13𝑎-1+4𝑎≥0⇒17≤a13.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式2.设函数f(x)=-x2+4xx≤4,log2xx4,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.[1,4]C.[4,+∞)D.(-∞,1]∪[4,+∞)D【解析】作出f(x)的图象如图,由图象可知f(x)的单调递增区间是(-∞,2]和(4,+∞),∵函数y=f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4.故选D.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型四函数的奇偶性、对称性及周期性【例4-1】(1)判断下列函数的奇偶性.①f(x)=lgx-1x+1;②f(x)=ln(x