考点24-空间几何体体积及表面积(讲解)(解析版)

公众号：高中逆袭墙免费分享考点24:空间几何体的表面积和体积【思维导图】公众号：高中逆袭墙免费分享【常见考法】考法一：体积1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，222ADBDAB，平面PAD底面ABCD，且2PAPD，E，F分别为PC，BD的中点.（1）求证：//EF平面PAD；（2）求证：平面PAD平面PBD；（3）求三棱锥BPCD的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】（1）如图，连接AC.因为底面ABCD是平行四边形，且F是BD的中点，所以F也是AC的中点.又因E是PC的中点，所以//EFPA.因为PA平面PAD，EF平面PAD，所以//EF平面PAD.（2）在ABD△中，因为222ADBDAB，所以2228ADBDAB，则BDAD.又因为侧面PAD底面ABCD，交线为AD，而BD平面ABCD，所以BD平面PAD.公众号：高中逆袭墙免费分享因为BD平面PBD，所以平面PAD平面PBD.（3）取AD中点为O，连接PO.因为PAPD，O为AD的中点，所以POAD，又因为侧面PAD底面ABCD，交线为AD，所以PO平面ABCD.因为2PAPD，2AD，所以2224PAPDAD，所以PAPD.所以1PO，所以三棱锥BPCD的体积11122213323BPCDPBCDBCDVVSPO△.2.（等体积法之点面距）已知三棱锥ABPC中，,APPCACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若310BCAB，，求点B到平面DCM的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）125.【解析】（1）证明：如图，∵PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MDPB.又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴//MDAP,∴APPB.又已知APPC,∴AP平面PBC,∴APBC.又∵,ACBCACAPA,∴BC⊥平面APC.公众号：高中逆袭墙免费分享（2）解：法一：记点B到平面MDC的距离为h，则有MBCDBMDCVV∵10AB∴5MBPB，又3BCBCPC，,∴4PC，∴11324BDCPBCSSPCBC，又532MD，∴15332MBCDBDCVMDS，在PBC中，1522CDPB，又∵MDDC，∴125328MDCSMDDC，∴11255333382BMDCMDCVhSh，∴125h即点B到平面MDC的距离为125.法二：∵平面DCM平面PBC且交线为DC，过B作BHDC，则BH平面DCM，BH的长为点B到平面DCM的距离；∵10AB，∴5MBPB，又3,BCBCPC，∴4PC，∴11324BDCPBCSSPCBC.又1522CDPB，∴15324BCDSCDBHBH，∴125BH，即点B到平面MDC的距离为125.3．（补形法）将棱长为2的正方体1111ABCDABCD截去三棱锥1DACD后得到如图所示几何体，O为11AC的中点．公众号：高中逆袭墙免费分享（1）求证：//OB平面1ACD；（2）求几何体111ACBAD的体积．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）取AC中点为1O，连接1OO、11BD、11OD．在正方形1111DCBA中，O为11AC的中点，O为11BD的中点．在正方体1111ABCDABCD中，11//AACC且11AACC，四边形11AACC为平行四边形，11//ACAC且11ACAC，O、1O分别为11AC、AC的中点，11//AOAO且11AOAO，所以，四边形11AAOO为平行四边形，11//OOAA且11OOAA，11//AABB且11AABB，11//OOBB且11OOBB，所以，四边形11OOBB为平行四边形，11//OBOB且11OBOB，O为11BD的中点，11//ODOB且11ODOB，则四边形11OBOD为平行四边形，11//OBOD，公众号：高中逆袭墙免费分享又BO平面1ACD，11OD平面1ACD，因此，//OB平面1ACD；（2）∵正方体1111ABCDABCD的棱长为2，1111328ABCDABCDV，1112223243DACDV．又11111111111ACBADABCCDABABCBCBCDVVVV，且111111111420833ABCCDABABCDABCDDACDVVV，而111143ABCBCBCDVV，1112042433ACBADV．4．（分割法）如图，矩形ABCD中，3AB，1BC，E、F是边DC的三等分点.现将DAE、CBF分别沿AE、BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直.（1）若G为线段AB上一点，且1AG，求证：DG平面CBF；（2）求多面体CDABFE的体积.【答案】(1)见证明(2)22【解析】（1）分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为1ADDE，90ADE，所以DMAE，且22DM.因为1BCCF，90BCF，所以CNBF，且22CN.因为面DAE、面CBF均与面ABFE垂直，所以DM面ABFE，CN面ABFE，所以DMCN，且DMCN.因为cos45AMAG，所以90AMG，公众号：高中逆袭墙免费分享所以AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故45MGA，而45FBA，则MGFB，故面DMG面CBF，则DG面CBF.（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DMCN，且DMCN，则四边形DMNC为平行四边形，故22EFABDCMN.因为DABEBEFCDVVV33DABEBDEFDABEDBEFVVVV，所以11231322V11223113222.考法二：表面积1．如图，在四棱锥PABCD中，2AD，1ABBCCD，//BCAD，90PAD.PBA为锐角，平面PAB平面PBD.（Ⅰ）证明：PA平面ABCD；（Ⅱ）AD与平面PBD所成角的正弦值为24，求三棱锥PABD的表面积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3362.【解析】（Ⅰ）如图所示：公众号：高中逆袭墙免费分享作AMPB于M，因为平面PAB平面PBD所以AM平面PBD.所以AMBD取AD中点为Q，则=BCQD，且//BCQD所以1BQCDQDQA所以90ABD，BDAB又PBA为锐角，点M与点B不重合.所以DB平面PABDBPA.又PAAD，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故PA平面ABCD.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM平面PBD，故ADM∠即为AD与平面PBD所成角，2242AMAMAD.在RtPAB中，2452AMPBA，故1PA，12PABS△，1PADS△，322ABDABBDS△.而90PBD，所以236222△PBDPBBDS公众号：高中逆袭墙免费分享故所求表面积为：13633612222.2．如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，1222AAABBC，M，N，D分别为AB，1BB，1CC的中点，E为线段MN上的动点.（1）证明：//CE平面1ADB；（2）若将直三棱柱111ABCABC沿平面1ADB截开，求四棱锥1ABCDB的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）2632.【解析】（1）证明：连接CM，CN，因为N，D分别为1BB，1CC中点，所以1112NBBB，1112CDCC，又因为11//BBCC，11BBCC，所以1//NBCD，1NBCD，所以四边形1NCDB为平行四边形，所以1//NCDB，又M为AB中点，所以1//MNAB，又CMCNC，111ABDBB，所以平面//MCN平面1ADB，又CE平面MCN，所以//CE平面1ADB.公众号：高中逆袭墙免费分享（2）连接BD，因为ABBC，1BBAB，1BCBBB，BC平面11BCCB，1BB平面11BCCB，所以AB平面11BCCB，所以ABBD，11122ABCS△，12112ABBS△，12222ACDS△，1(12)1322BCDBS梯形，在1ADB中，3AD，15AB，12DB，所以22211ADDBAB，所以1ADDB，123622ADBS△，所以四棱锥1ABCDB的表面积1236261322222S.3．如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,3ABC,M是PC上一动点.公众号：高中逆袭墙免费分享（1）求证:平面PAC平面MBD;（2）若PBPD,三棱锥PABD的体积为624,求四棱锥PABCD的侧面积.【答案】（1）证明见解析（2）522【解析】(1)PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD.底面ABCD是菱形BDAC.又PAACAQI,PA平面PAC,AC平面PAC,BD平面PAC.又BD平面MBD,平面PAC平面MBD.(2)设菱形ABCD的边长为x,3ABCQ,23BAD.在ABD中,22222212cos22()32BDADABADABBADxxx3BDx.又PA平面ABCD,ABAD,PBPD,62PBPDx,故22PAx.又221123sinsin2234ABDSABADBADxx,2-11326=334224ABDPABDVSPAxx三棱锥,解得:1x,26,22PAPBPD,,3ABC1ACAB公众号：高中逆袭墙免费分享又PA平面ABCD,62PCPB,四棱锥PABCD的侧面积为:21216152222(1()1)222242PABPBCSS.考法三：求参数1．如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABCD是等腰梯形，//ABCD，面ABFE是矩形，平面ABFE平面ABCD，BCCDAEa，60DAB.（1）求证：平面BDF平面ADE；（2）若三棱锥BDCF的体积为312，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）因为四边形ABFE是矩形，故EAAB，又平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，AE平面ABFE，所以AE⊥平面ABCD，又BD面ABCD，所以AEBD，在等腰梯形ABCD中，60DAB，120ADCBCD，因BCCD，故30BDCo，1203090ADB，即ADBD，又AEADA，故BD平面ADE，BDQ平面BDF，所以平面BDF平面ADE；公众号：高中逆袭墙免费分享（2）BCD的面积为2213sin12024BCDSaa，//AEFB，AE⊥平面ABCD，所以，BF平面ABCD，231333341212DBCFFBCDVVaaa，故1a.2．如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，O是AD上一点，平面PAD平面,ABCD//,,1,2,3ABCDABADABCDBC.（1）若O是AD的中点，求证：OB平面POC；（2）设=ODOA，当取何值时，三棱锥BPOC的体积为3？【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）因为//,,1,2,3ABCDABADABC