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本章整合本章知识可分为三部分。第一部分:曲线运动的基础知识;第二部分:曲线运动的研究方法;第三部分:曲线运动的实例——平抛运动。一、曲线运动的基础知识二、曲线运动的研究方法三、曲线运动的实例——平抛运动一、互成角度的两个直线运动的合运动的性质和轨迹的判断解决思路:1.确定两个分运动方向上的初速度大小和方向,以及在这两个方向上的物体所受力的大小和方向(即分运动方向上的加速度大小和方向)。2.应用平行四边形定则,将两个分运动的速度和分运动方向的力进行矢量合成,求出合速度和合力(或合加速度)的大小和方向;条件合运动合速度方向与合力(或合加速度)方向共线直线运动同向加速直线运动反向减速直线运动共线且合力为恒力匀变速直线运动不共线曲线运动成锐角加速曲线运动成钝角减速曲线运动成直角匀速率曲线运动不共线且合力为恒力匀变速曲线运动3.根据下列规律做出判断:例1摩托艇在某段时间内沿水平方向和竖直方向的位移分别为x=-2t2-6t,y=0.05t2+4t(t的单位是s,x、y的单位是m),则关于摩托艇在该段时间内的运动,下列说法正确的是()A.摩托艇在水平方向的分运动是匀减速直线运动B.t=0时摩托艇的速度为0C.摩托艇的运动是匀变速曲线运动D.摩托艇运动的加速度大小为4m/s2解析:由题意知,在水平方向,初速度为-6m/s,加速度为-4m/s2,加速度方向与初速度方向相同,因此,在水平方向的分运动是匀加速直线运动,A错误;在竖直方向,初速度为4m/s,加速度为0.1m/s2,t=0时摩托艇的速度大小为213m/s,与水平方向夹角的正切值为23,B错误;摩托艇的加速度大小为16.01m/s2,与水平方向夹角的正切值为140,D错误;由于初速度方向与加速度方向不在同一条直线上,因此摩托艇做匀变速曲线运动,C正确。答案:C二、运动的合成与分解的两种典型模型1.小船渡河模型小船渡河时,相对于地面(河岸)的运动即实际运动(或合运动),同时参与了两个运动,一是相对于水的运动,二是随水的运动。当船头垂直于河岸航行时,渡河时间最短为t=𝑑𝑣船,只与河宽d和船在静水中的速度v船有关,与水速无关;当船速大于水速时,船头与上游河岸的夹角θ满足v船cosθ=v水,此时v合⊥v水,船渡河的最短位移为河宽。例2有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为()A.𝑘𝑣𝑘2-1B.𝑣1-𝑘2C.𝑘𝑣1-𝑘2D.𝑣𝑘2-1解析:去程时如图甲,所用时间t1=𝑑𝑣船,回程时如图乙,所用时间t2=𝑑𝑣船2-𝑣2,又𝑡1𝑡2=k,联立解得v船=𝑣1-𝑘2,则选项B正确。答案:B2.绳(或杆)端的速度分解模型当绳连接的两个物体的运动方向与绳不共线时,如图所示,绳末端的运动可以看成两个分运动的合成,一是沿绳方向被带动,绳长缩短,使绳缩短的速度为v0;二是垂直于绳、以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长,即合速度vA分解为沿绳的速度v0与垂直绳的速度v1。不可伸长的绳或杆,沿绳或杆轴线上的速度大小是相同的,这是解决问题的关键。例3如图所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动,当AB杆和墙的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面滑动的速度大小为v2,则v1、v2的关系是()A.v1=v2B.v1=v2cosθC.v1=v2tanθD.v1=v2sinθ解析:A、B两点速度分解如图,由沿杆方向的速度相等得:v1cosθ=v2sinθ,所以v1=v2tanθ,故C对。答案:C三、平抛运动的特征和解题方法平抛运动是典型的匀变速曲线运动,它的动力学特征是水平方向有初速度而不受外力,竖直方向只受重力而无初速度,抓住了平抛运动这个初始条件,也就抓住了解题关键。现将常见的几种解题方法介绍如下:1.利用平抛运动的时间特点解题平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,只要抛出的时间相同,下落的高度和竖直分速度就相同。2.利用平抛运动的偏转角解题设平抛运动的物体,下落高度为h,水平位移为x,速度vA与初速度v0的夹角为θ。如图所示。tanθ=𝑣𝑦𝑣𝑥=𝑔𝑡𝑣0=𝑔𝑡2𝑣0𝑡=2ℎ𝑥将vA反向延长与x相交于O点,OA'=d,则有tanθ=ℎ𝑑,所以d=𝑥2,tanθ=2ℎ𝑥=2tanα。由以上结论可知:(1)速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的两倍;(2)速度的反方向的延长线与x轴的交点在𝑥2处。3.利用平抛运动的轨迹解题平抛运动的轨迹是一条抛物线,已知抛物线上的任一段,就可以求出水平初速度和抛出点,其他物理量也就迎刃而解了。如图为小球做平抛运动的某段轨迹,在轨迹上任取两点A和B,分别过A作竖直线,过B作水平线相交于C,然后过BC的中点作垂线交抛物线于E点,再过E点作水平线交AC于F点,小球经过AE段和EB段的时间相等,设时间为T。由匀变速直线运动规律知,T=Δ𝑦𝑔=𝑦𝐹𝐶-𝑦𝐴𝐹𝑔,v0=𝑥𝐹𝐸𝑇。例42018年11月23日,北京国际雪联单板滑雪大跳台世界杯在国家体育场举办。如图,运动员经过一段加速滑行后从A点以水平速度v0飞出,落到斜坡上的B点,已知AB两点距离s=75m,斜坡与水平面的夹角α=37°,不计空气阻力(sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2)。求:(1)运动员在空中飞行的时间;(2)运动员在A点水平速度v0的大小。解析:(1)将运动员位移分解为水平位移x=scos37°=60m,竖直位移y=ssin37°=45m,运动员在竖直方向做自由落体运动,y=gt2,解得t=3s(2)运动员在水平方向做匀速直线运动,x=v0t代入数据可得v0=20m/s答案:(1)3s(2)20m/s12例5在离地某一高度的同一位置,有A、B两个小球,A球以vA=3m/s的速度水平向左抛出,同时B球以vB=4m/s的速度水平向右抛出,试求出两个小球的速度方向垂直时,它们之间的距离为多大?(g取9.8m/s2)解析:如图所示,由于两个小球是以同一高度、同一时刻抛出,它们始终在同一水平位置上,且有vAy'=vBy'=gt,设vA'、vB'的方向和竖直方向的夹角分别为α和β,则vAy'=𝑣𝐴tan𝛼,vBy'=𝑣𝐵tan𝛽,α+β=90°,vAy'2=vAy'vBy'=𝑣𝐴𝑣𝐵tan𝛼tan𝛽=vAvB。则vAy'=𝑣𝐴𝑣𝐵,t=𝑣𝐴𝑦'𝑔=𝑣𝐴𝑣𝐵𝑔=0.353s,s=(vA+vB)t=2.47m。答案:2.47m