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习题课:天体运动学习目标思维导图1.掌握解决天体运动问题的模型及思路。2.掌握人造卫星的变轨问题的分析方法。3.会分析双星问题。探究一探究二随堂检测卫星变轨问题情景导引右图是嫦娥飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图,请思考:从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道,飞船应采取什么措施?从奔月轨道进入月球轨道,又采取什么措施呢?要点提示:从绕地球运动的轨道上加速,使飞船做离心运动,飞船转移到奔月轨道;要进入月球轨道,飞船应减速。探究一探究二随堂检测知识归纳1.速度问题卫星变轨时,先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化,进而使轨道半径r发生变化。(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m𝑣2𝑟减小,万有引力大于所需的向心力,卫星将做近心运动,向低轨道变迁。(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m𝑣2𝑟增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,卫星将做离心运动,向高轨道变迁。以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据。2.加速度问题卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时,卫星受到的万有引力相同,所以加速度相同。探究一探究二随堂检测实例引导例1(多选)嫦娥一号卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于嫦娥一号的说法正确的是()A.在P点由a轨道转变到b轨道时,速度必须变小B.在Q点由d轨道转变到c轨道时,要加速才能实现(不计嫦娥一号的质量变化)C.在b轨道上,P点速度比R点速度大D.嫦娥一号在a、b轨道上正常运行时,通过同一点P时,加速度相等探究一探究二随堂检测解析:卫星在轨道a上的P点进入轨道b,需加速,使万有引力小于需要的向心力而做离心运动,选项A错误;在Q点由d轨道转移到c轨道时,必须减速,使万有引力大于需要的向心力而做近心运动,选项B错误;根据开普勒第二定律知在b轨道上,P点速度比R点速度大，选项C正确;根据牛顿第二定律得𝐺𝑚地𝑚𝑟2=ma,卫星在a、b轨道上正常运行时,通过同一点P时加速度相等,选项D正确。答案:CD探究一探究二随堂检测规律方法判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断。(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时,可根据开普勒行星运动第二定律判断,即离中心天体越远,速度越小。(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时,可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。(4)判断卫星的加速度大小时,可根据a=𝐹𝑚=G𝑚地𝑟2判断。探究一探究二随堂检测变式训练1如图所示,a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星,下列说法正确的是()A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等候同一轨道上的cD.a卫星由于某原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将增大探究一探究二随堂检测解析:由𝐺𝑚地𝑚𝑟2=𝑚𝑣2𝑟得v=𝐺𝑚地𝑟,可知b、c的线速度大小相等,且小于a的线速度,选项A错误;由𝐺𝑚地𝑚𝑟2=ma得a=𝐺𝑚地𝑟2,可知b、c的向心加速度大小相等,且小于a的向心加速度,选项B错误;当卫星c加速时,将做离心运动,轨道半径变大,不可能追上同一轨道上的b,同理,卫星b减速时,将做近心运动,半径减小,不能等候同一轨道上的c,选项C错误;当卫星的半径减小时,重力做正功,当在较低的轨道上运动时,由v=𝐺𝑚地𝑟可知,其线速度将会变大,选项D正确。答案:D探究一探究二随堂检测双星问题情景导引宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”,两颗天体以它们连线上的一点为圆心,做匀速圆周运动,两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考:(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供?(2)两颗天体转动的周期有什么关系?要点提示:(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。(2)因两天体及圆心始终在同一条直线上,所以两颗天体转动的周期必定相同。探究一探究二随堂检测知识归纳1.双星模型如图所示,宇宙中相距较近的两个星球,它们离其他星球都较远,因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下,它们将围绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动,这种结构叫做“双星”。探究一探究二随堂检测2.双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点。(2)两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供。对m1:G𝑚1𝑚2𝐿2=m1ω2r1;对m2:G𝑚1𝑚2𝐿2=m2ω2r2。(3)两星的运动周期、角速度都相同。(4)两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L。探究一探究二随堂检测实例引导例2宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起。设两者的质量分别为m1和m2,两者相距为L。求:(1)双星的轨道半径之比;(2)双星的线速度之比;(3)双星的角速度。探究一探究二随堂检测解析:这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起,从而保持两星间距离L不变,且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示,两者轨迹圆的圆心为O,圆半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力得G𝑚1𝑚2𝐿2=m1ω2R1①G𝑚1𝑚2𝐿2=m2ω2R2②(1)由①②两式相除,得𝑅1𝑅2=𝑚2𝑚1。(2)因为v=ωR,所以𝑣1𝑣2=𝑅1𝑅2=𝑚2𝑚1。(3)由几何关系知R1+R2=L③联立①②③式解得ω=𝐺(𝑚1+𝑚2)𝐿3。探究一探究二随堂检测答案:(1)m2∶m1(2)m2∶m1(3)𝐺(𝑚1+𝑚2)𝐿3规律方法解决双星问题的基本思路1.明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力来源。2.由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程。3.利用两星运动的特点,构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程。注意:万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L,而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同)。探究一探究二随堂检测变式训练2银河系的恒星中大约有四分之一是双星,某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动,如图所示。由天文观察测得其运动周期为T,S1到O点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为()A.4π2𝑟2(𝑟-𝑟1)𝐺𝑇2B.4π2𝑟3𝐺𝑇2C.4π2𝑟13𝐺𝑇2D.4π2𝑟2𝑟1𝐺𝑇2解析:双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力,对S2有G𝑚1𝑚2𝑟2=m24π2𝑇2(r-r1),解得m1=4π2𝑟2(𝑟-𝑟1)𝐺𝑇2,选项A对。答案:A探究一探究二随堂检测1.卫星发射过程的示意图如图所示,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再一次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点。轨道2、3相切于P点。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是()A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率D.卫星在轨道2上经过P点时的速率小于它在轨道3上经过P点时的速率探究一探究二随堂检测解析:同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有:G𝑚地𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,v=𝐺𝑚地𝑟因为r1r3,所以v1v3,由ω=𝐺𝑚地𝑟3得ω1ω3在Q点,卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等,在圆轨道1上引力刚好等于向心力,即F=𝑚𝑣12𝑟1。而在椭圆轨道2上卫星做离心运动,说明引力不足以提供卫星以v2速率做匀速圆周运动时所需的向心力,即F𝑚𝑣22𝑟1,所以v2v1。探究一探究二随堂检测卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时,根据机械能守恒可知此时的速率v2'v2,在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力相等,但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动,说明F'm𝑣2'2𝑟3,卫星在圆轨道3上运行时引力刚好等于向心力,即F'=m𝑣32𝑟3,所以v2'v3。由以上可知,速率从大到小排列为v2v1v3v2‘。答案:D探究一探究二随堂检测2.如图所示,两颗星球在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L,质量之比为m1∶m2=3∶2,下列说法中正确的是()A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m1做圆周运动的半径为25LD.m2做圆周运动的半径为25L探究一探究二随堂检测解析:设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2,双星绕O点转动的角速度为ω,据万有引力定律和牛顿第二定律得G𝑚1𝑚2𝐿2=m1r1ω2=m2r2ω2,又r1+r2=L,m1∶m2=3∶2所以可解得r1=25L,r2=35Lm1、m2运动的线速度分别为v1=r1ω,v2=r2ω,故v1∶v2=r1∶r2=2∶3。综上所述,选项C正确。答案:C探究一探究二随堂检测3.如图所示,两个星球A、B组成双星系统,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB,引力常量为G,求𝐿3𝑇2(其中L为两星中心距离,T为两星的运动周期)。解析:设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。则rA+rB=L,对星球A:G𝑚𝐴𝑚𝐵𝐿2=mArA4π2𝑇2,对星球B:G𝑚𝐴𝑚𝐵𝐿2=mBrB4π2𝑇2,联立以上三式求得𝐿3𝑇2=𝐺(𝑚𝐴+𝑚𝐵)4π2。答案:𝐺(𝑚𝐴+𝑚𝐵)4π2