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3万有引力理论的成就学习目标思维导图1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2.理解“计算天体质量”的基本思路。3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路。必备知识自我检测一、“称量”地球的质量1.依据:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力,即mg=G𝑚地𝑚𝑅2,可得地球的质量m地=𝑔𝑅2𝐺。2.结论:只要测出引力常量G的值,利用g、R的值就可以计算地球的质量,因此卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球的重量”。必备知识自我检测二、计算天体的质量1.计算太阳质量设太阳的质量为m太,某个行星的质量是m,行星与太阳之间的距离是r,行星的公转周期是T,已知引力常量G。根据行星做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,得G𝑚太𝑚𝑟2=4π2𝑚𝑟𝑇2,太阳的质量为m太=4π2𝑟3𝐺𝑇2。2.计算行星质量:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,根据万有引力提供向心力得行星的质量m行=4π2𝑟3𝐺𝑇2。必备知识自我检测三、发现未知天体1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星,人们称其为“笔尖下发现的行星”。2.其他天体的发现:发现海王星过程中所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体。近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。必备知识自我检测四、预言哈雷彗星的回归1.英国天文学家哈雷从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星,依据万有引力定律,用一年的时间计算了它们的轨道。发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙。他大胆预言,这三次出现的彗星是同一颗星,周期约为76年,并预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点。2.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位,也成为科学史上的美谈。五、解释自然现象1.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象。2.用万有引力定律等推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。3.分析了地球表面重力加速度微小差异的原因,以及指导重力探矿。必备知识自我检测1.正误辨析(1)已知地球绕太阳运动的周期和地球到太阳的距离可以计算地球的质量。()解析:已知地球绕太阳运动的周期和地球到太阳的距离可以计算太阳的质量。答案:×(2)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()解析:人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星而不是天王星。答案:×(3)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()答案:√(4)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。()解析:计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。答案:×必备知识自我检测2.(多选)已知引力常量G,利用下列数据,可以计算出地球质量的是()A.已知地球的半径R和地面的重力加速度gB.已知地球绕太阳做匀速圆周运动的半径r和周期TC.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度vD.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T必备知识自我检测解析:设相对地面静止的某一物体的质量为m,则G𝑚地𝑚𝑅2=mg,得m地=𝑔𝑅2𝐺,所以选项A正确。由万有引力提供向心力,G𝑚太𝑚地𝑟2=m地4π2𝑟𝑇2,得m太=4π2𝑟3𝐺𝑇2,m太为中心天体太阳的质量,无法求出地球的质量,所以选项B错误。设卫星的质量为m,则由万有引力提供向心力,G𝑚地𝑚𝑟2=𝑚𝑣2𝑟,得m地=𝑣2𝑟𝐺,所以选项C正确。设卫星的质量为m,则由万有引力提供向心力,G𝑚地𝑚𝑟2=m4π2𝑟𝑇2,又T=2π𝑟𝑣,消去r,得m地=𝑣3𝑇2π𝐺,所以选项D正确。答案:ACD探究一探究二随堂检测天体的质量和密度的计算情景导引观察下面两幅图片,请思考:(1)如果知道自己的重力,你能否求出地球的质量?(2)如何能测得太阳的质量呢?要点提示:(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力,根据mg=G𝑚地𝑚𝑅2可求地球质量。(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供,根据𝐺𝑚太𝑚地𝑟2=m地2π𝑇2r可求太阳质量。探究一探究二随堂检测知识归纳1.天体质量的计算(1)“自力更生法”:若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于天体对物体的引力,得mg=G𝑚地𝑚𝑅2,解得天体质量为m地=𝑔𝑅2𝐺,因g、R是天体自身的参量,故称“自力更生法”。(2)“借助外援法”:借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量,依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力G𝑚地𝑚𝑟2=m2π𝑇2r⇒m地=4π2𝑟3𝐺𝑇2。探究一探究二随堂检测2.天体密度的计算若天体(如地球)的半径为R,则天体的密度ρ=𝑚地43π𝑅3,将m地=4π2𝑟3𝐺𝑇2代入上式可得ρ=3π𝑟3𝐺𝑇2𝑅3。特殊情况,当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=3π𝐺𝑇2。画龙点睛利用万有引力提供向心力的方法只能求出中心天体的质量而不能求出做圆周运动的卫星或行星的质量。探究一探究二随堂检测实例引导例1(多选)要计算地球的质量,除已知的一些常数外还需知道某些数据,现给出下列各组数据,可以计算出地球质量的有()A.已知地球半径RB.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度vC.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期TD.已知地球公转的周期T'及运转半径r'探究一探究二随堂检测解析:设相对于地面静止的某一物体质量为m0,地球的质量为m地,根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G𝑚地𝑚0𝑅2=m0g,解得m地=𝑔𝑅2𝐺,选项A正确;设卫星的质量为m,根据万有引力提供卫星运转的向心力,可得𝐺𝑚地𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,即m地=𝑣2𝑟𝐺,选项B正确;再根据T=2π𝑟𝑣,得m地=𝑣2·𝑟𝐺=𝑣2·𝑣𝑇2π𝐺=𝑣3𝑇2π𝐺,选项C正确;若已知地球公转的周期T'及运转半径r',只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量,不能求出地球的质量,所以选项D错误。答案:ABC探究一探究二随堂检测规律方法求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法:m天=𝑔𝑅2𝐺和m天=4π2𝑟3𝐺𝑇2。不仅适用于计算地球和太阳的质量,也适用于其他星体。(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径,r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体表面运行,则有R=r。探究一探究二随堂检测变式训练1嫦娥一号是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行,运行周期为127min。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为()A.8.1×1010kgB.7.4×1013kgC.5.4×1019kgD.7.4×1022kg解析:天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力。嫦娥一号绕月球做匀速圆周运动,由牛顿第二定律知𝐺𝑚月𝑚𝑟2=4π2𝑚𝑟𝑇2,得m月=4π2𝑟3𝐺𝑇2,其中r=R+h,代入数据解得m月=7.4×1022kg,选项D正确。答案:D探究一探究二随堂检测天体运动的分析与计算情景导引2018年7月27日,火星、地球和太阳处于三点一线,上演“火星冲日”的天象奇观。火星与地球之间的距离只有5770万千米,为人类研究火星提供了很好时机。“火星冲日”的虚拟图如图所示,请思考:(1)该时刻火星和地球谁的速度大呢?(2)再经过一年时间,火星是否又回到了原位置?探究一探究二随堂检测要点提示:(1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G𝑚太𝑚𝑅2=m𝑣2𝑅,可得v=𝐺𝑚太𝑅,故地球的速度大;(2)再经过一年,地球回到原来位置,由于火星的周期大于地球的周期,则再经过一年,火星还没有回到原位置。探究一探究二随堂检测知识归纳1.一个模型一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。2.两条思路(1)万有引力提供向心力:G𝑚天𝑚𝑟2=ma向=m𝑣2𝑟=mω2r=m4π2𝑇2r。(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力:mg=G𝑚天𝑚𝑅2,得gR2=Gm天,这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。探究一探究二随堂检测3.四个重要结论设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由G𝑚天𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟得v=𝐺𝑚天𝑟,r越大,v越小。(2)由G𝑚天𝑚𝑟2=mω2r得ω=𝐺𝑚天𝑟3,r越大,ω越小。(3)由G𝑚天𝑚𝑟2=m2π𝑇2r得T=2π𝑟3𝐺𝑚天,r越大,T越大。(4)由G𝑚天𝑚𝑟2=ma向得a向=𝐺𝑚天𝑟2,r越大,a向越小。探究一探究二随堂检测实例引导例2如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A.太阳对各小行星的引力相同B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值探究一探究二随堂检测解析:由F=𝐺𝑚太𝑚𝑟2可知,若m和r不相同,则F不一定相同,选项A错;据𝐺𝑚太𝑚𝑟2=mr4π2𝑇2得T=2π𝑟3𝐺𝑚太,因此小行星的周期均大于地球的公转周期,选项B错;由a=𝐺𝑚太𝑟2可知r越小,a越大,选项C正确;由𝐺𝑚太𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟得v=𝐺𝑚太𝑟,r越小,v越大,选项D错。答案:C探究一探究二随堂检测规律方法天体运动问题解决技巧(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时,可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)。(2)若已知量或待求量中涉及重力加速度g,则应考虑黄金代换式gR2=Gm天𝑚𝑔=𝐺𝑚天𝑚𝑅2的应用。(3)若已知量或待求量中涉及v(或ω、T、a向),则应考虑从G𝑚天𝑚𝑟2=ma向=m𝑣2𝑟=mω2r=m4π2𝑇2r中选择公式应用。探究一探究二随堂检测变式训练2如图所示,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为m和2m的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.甲的向心加速度的大小比乙的小B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的线速度比乙的大解析:根据万有引力提供向心力,因为m甲=0.5m乙,r甲=r乙,根据a=𝐺𝑚𝑟2得,甲的向心加速度比乙小,选项A正确;根据T=2π𝑟3𝐺𝑚得,甲的运行周期比乙大,选项B错误;由ω=𝐺𝑚𝑟3得,甲的角速度比乙小,选项C错误;由v=𝐺𝑚𝑟得,甲的线速度比乙小,选项D错误。答案:A探究一探究二随堂检测1.(2019全国Ⅲ卷,15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金R地R火,由此可以判定()A.a金a地a火B.a火a地a金C.v地v火v金D.v火v地v金解析:由万有引力提供向心力得,𝐺𝑚太𝑚𝑅2=ma=𝑚𝑣2𝑅。由a=𝐺𝑚太𝑅2可知,a∝1𝑅2,可判断A正确、B错误;由v=𝐺𝑚太𝑅可知,半径增加,速度减小,可判断C、D错误。答案:A探究一探究二随堂检测2.有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍,则该星球的质量是地球质量的()A.14B.