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习题课:圆周运动的临界问题学习目标思维导图1.掌握水平面内圆周运动临界问题的分析方法。2.掌握竖直面内圆周运动临界问题的分析方法。探究一探究二随堂检测水平面内圆周运动的临界问题情景导引赛车在水平路面上转弯时,常常在弯道上冲出跑道,如果你是赛车手,怎样做才能避免发生这种现象?要点提示:赛车在水平路面上转弯时,路面的静摩擦力提供向心力。若赛车所需要的向心力大于地面的最大静摩擦力,则赛车会冲出跑道。因此,转弯前应适当降低速度。探究一探究二随堂检测知识归纳1.水平面内圆周运动的临界问题:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有远离或向着圆心运动(半径有变化)的趋势。当物体所需要的向心力大于提供向心力的力时,物体就脱离轨道。当提供向心力的力取最大值时,物体做圆周运动的角速度就达到最大。2.解题方法:确定临界条件是关键,一般通过极限思维来确定临界条件,即把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象显现,确定临界条件。3.常见临界条件:(1)与绳子的弹力有关:绳子恰好无弹力或恰好拉力最大(断裂)时;(2)与支持面弹力有关的:恰好无支持力时;(3)与静摩擦力有关:静摩擦力达到最大值时。探究一探究二随堂检测实例引导例1(多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω=𝑘𝑔2𝑙是b开始滑动的临界角速度D.当ω=2𝑘𝑔3𝑙时,a所受摩擦力的大小为kmg探究一探究二随堂检测解析:a与b所受的最大静摩擦力相等,而b需要的向心力较大,所以b先滑动,A正确;在未滑动之前,a、b各自受到的摩擦力等于其向心力,因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力,B错误;b处于临界状态时kmg=mω2·2l,解得ω=𝑘𝑔2𝑙,C正确;ω=2𝑘𝑔3𝑙小于a的临界角速度,a所受摩擦力没有达到最大值,D错误。答案:AC规律方法物体随水平转盘做圆周运动,通常是静摩擦力提供向心力,静摩擦力随转速的增大而增大,当静摩擦力增大到最大静摩擦力时,物体达到保持圆周运动的最大速度。若转速继续增大,物体将做离心运动。探究一探究二随堂检测例2如图所示,一根长为l=1m的细线一端系一质量为m=1kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。(g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,结果可用根式表示)(1)若要使小球刚好离开锥面,则小球的角速度ω0为多大?(2)若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度ω'为多大?探究一探究二随堂检测解析:(1)若要使小球刚好离开锥面,则小球只受到重力和细线的拉力,小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上,故向心力沿水平方向,受力分析如图所示。由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ=m𝜔02lsinθ,解得ω0=𝑔𝑙cos𝜃=522rad/s。(2)同理,当细线与竖直方向成α=60°角时,由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα=mω'2lsinα,解得ω'=𝑔𝑙cos𝛼=25rad/s。探究一探究二随堂检测答案:(1)522rad/s(2)25rad/s规律方法(1)审题中寻找类似“刚好”“取值范围”“最大、最小”等字眼,看题述过程是否存在临界(极值)问题。(2)解决临界(极值)问题的一般思路,首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态,其次分析该状态下物体的受力特点,最后结合圆周运动知识,列出相应的动力学方程综合分析。探究一探究二随堂检测竖直面内的圆周运动情景导引小球分别在轻绳(如图甲)和轻杆(如图乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动,请思考:(1)小球要在竖直平面内完成圆周运动,经过最高点时的最小速度能为零吗?(2)小球经过最高点时,与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗?要点提示:(1)因为绳不能产生支持力,而杆可以,所以甲图中小球经过最高点时的速度不可能为零,乙图中小球经过最高点的最小速度可以为零。(2)若小球与绳(或杆)之间没有作用力,则只有重力提供向心力,所以在最高点时小球与绳(或杆)之间的作用力可以为零。探究一探究二随堂检测知识归纳1.运动性质物体在竖直平面内做圆周运动时,受弹力和重力两个力的作用,物体做变速圆周运动。2.最低点小球运动到最低点时受杆或轨道向上的弹力和向下的重力作用,由这两个力的合力提供向心力,FN-mg=m𝑣2𝑟。探究一探究二随堂检测3.最高点物体在最高点时的受力特点可分为以下两种模型:轻绳模型轻杆模型常见类型最高点弹力的特点弹力只能指向圆心弹力既可以指向圆心也可以背离圆心过最高点的临界条件由mg=mv2r得v临=gr由小球能运动即可得v临=0探究一探究二随堂检测轻绳模型轻杆模型讨论分析(1)过最高点时,v=gr,mg=mv2r,绳、轨道对球无弹力(2)过最高点时,vgr,FN+mg=mv2r,绳、轨道对球产生弹力FN(3)vgr时,不能过最高点,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0vgr时,-FN+mg=mv2r,FN为支持力,背离圆心且随v的增大而减小(3)当v=gr时,mg=mv2r,FN=0。弹力出现的临界点(4)当vgr时,FN+mg=mv2r,FN为拉力或压力,指向圆心并随v的增大而增大探究一探究二随堂检测画龙点睛解答竖直平面内圆周运动问题时,首先要分清楚是绳模型还是杆模型,绳模型的临界条件是mg=m𝑣2𝑅,即v=𝑔𝑅,杆模型的临界条件是v=0,v=𝑔𝑅对杆来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。探究一探究二随堂检测典例剖析例3长L=0.5m质量可忽略的细杆,其一端可绕O点在竖直平面内转动,另一端固定着一个物体A。A的质量为m=2kg,当A通过最高点时,如图所示,求在下列两种情况下小球对杆的作用力:(1)A在最高点的速度为1m/s。(2)A在最高点的速度为4m/s。点拨A与杆之间恰好没有作用力时,mg=m𝑣02𝐿,v0=𝑔𝐿=5m/s→速度为1m/s时,小于v0,A受向上的支持力→速度为4m/s时,大于v0,A受向下的拉力→根据牛顿第二定律列方程求解。探究一探究二随堂检测解析:设物体A在最高点的速度为v0时,与杆之间恰好没有相互作用力,此时向心力完全由重力提供,根据牛顿第二定律有mg=m𝑣02𝐿,解得v0=𝑔𝐿=5m/s(1)当A在最高点的速度为v1=1m/s时,因小于v0=5m/s,此时物体A受到杆向上的支持力作用,根据牛顿第二定律有mg-F1=m𝑣2𝐿,解得F1=16N,根据牛顿第三定律,小球对杆的作用力大小为16N,方向向下。(2)当A在最高点的速度为v2=4m/s时,因大于v0=5m/s,此时物体A受到杆向下的拉力作用,根据牛顿第二定律有mg+F2=m𝑣2𝐿,解得F2=44N,根据牛顿第三定律得,小球对杆的作用力大小为44N,方向向上。答案:(1)16N向下(2)44N向上探究一探究二随堂检测规律方法竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。探究一探究二随堂检测变式训练如图所示,轻杆的一端有一小球,另一端有光滑的固定轴O,现给小球一个初速度,使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F()A.一定是拉力B.一定是支持力C.一定等于零D.可能是拉力,可能是支持力,也可能等于零解析:当球通过最高点,拉力为零时,有mg=𝑚𝑣2𝑅,得v=𝑔𝑅;当0v𝑔𝑅时,此时F为支持力,mg-F=𝑚𝑣2𝑅;当v𝑔𝑅时,此时F为拉力,F+mg=𝑚𝑣2𝑅。故选项D正确。答案:D探究一探究二随堂检测1.如图所示,运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m,做圆周运动的半径为R,重力加速度为g,将运动员和自行车看作一个整体,则()A.受重力、支持力、摩擦力、向心力作用B.受到的合力大小为F=𝑚𝑣2𝑅C.若运动员加速,则一定沿斜面上滑D.若运动员减速,则一定加速沿斜面下滑解析:将运动员和自行车看作一个整体,则系统受重力、支持力、摩擦力作用,向心力是按力的作用效果命名的力,不是物体实际受到的力,A错误;系统所受合力提供向心力,大小为F=m,B正确;运动员加速,系统有向上运动的趋势,但不一定沿斜面上滑,同理运动员减速,也不一定沿斜面下滑,C、D均错误。答案:B𝑣2𝑅探究一探究二随堂检测2.一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动,如图所示,重力加速度为g。下列说法正确的是()A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零B.小球过最高点的最小速度是𝑔𝑅C.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大D.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析:轻杆可对小球产生向上的支持力,小球经过最高点的速度可以为零,B错误;当小球过最高点的速度v=𝑔𝑅时,杆所受的弹力等于零,A正确;若v𝑔𝑅,则小球过最高点时,杆对小球的弹力竖直向上,有mg-F=m𝑣2𝑅,随着v增大,F减小,若v𝑔𝑅,则小球过最高点时,杆对小球的弹力竖直向下,有mg+F=m𝑣2𝑅,随着v增大,F增大,C、D错误。答案:A探究一探究二随堂检测3.如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO'转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半,内壁上有一质量为m的小物块,求:(1)当圆锥筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;(2)当物块在A点随筒匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度。探究一探究二随堂检测解析:(1)物块静止时,对物块进行受力分析如图甲所示,设筒壁与水平面的夹角为θ由平衡条件有Ff=mgsinθ,FN=mgcosθ由图中几何关系有cosθ=𝑅𝑅2+𝐻2,sinθ=𝐻𝑅2+𝐻2故有Ff=𝑚𝑔𝐻𝑅2+𝐻2,FN=𝑚𝑔𝑅𝑅2+𝐻2。(2)分析此时物块受力如图乙所示,由牛顿第二定律有mgtanθ=mrω2,其中tanθ=𝐻𝑅,r=𝑅2,可得ω=2𝑔𝐻𝑅答案:(1)𝑚𝑔𝐻𝑅2+𝐻2𝑚𝑔𝑅𝑅2+𝐻2(2)2𝑔𝐻𝑅