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习题课:机械能守恒定律的应用学习目标思维导图1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定。2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式列方程。3.在多个物体组成的系统中,会应用机械能守恒定律解决相关问题。4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别。探究一探究二探究三随堂检测机械能是否守恒的判断情景导引如图所示,左侧儿童站在秋千上,自己用力使秋千越荡越高,右侧儿童自己不用力,坐在秋千板上来回摆荡,若忽略一切阻力的影响,哪个儿童的机械能是守恒的?为什么?要点提示:右侧儿童的机械能是守恒的。左侧儿童越荡越高,机械能越来越大。右侧儿童只有重力做功,若忽略空气阻力的影响,荡起的高度不变化,机械能是守恒的。探究一探究二探究三随堂检测知识归纳机械能是否守恒的判断判断物体的机械能是否守恒,一般从以下三个方面入手。1.利用机械能定义来判定:研究系统的动能和势能之和有无变化。2.从做功角度判断(1)单个物体:除重力外无其他力做功(或其他力对这个物体做功之和为零),则物体的机械能守恒。(2)系统:外力中除重力外无其他力做功,内力做功之和为零,则系统的机械能守恒。3.从能量转化角度判断只有系统内动能、重力势能、弹性势能的相互转化、无其他形式能量的转化,系统机械能守恒。探究一探究二探究三随堂检测实例引导例1(多选)如图所示,细绳跨过定滑轮悬挂两物体m0和m,且m0m,不计摩擦,系统由静止开始运动的过程中()A.m0、m各自的机械能分别守恒B.m0减少的机械能等于m增加的机械能C.m0减少的重力势能等于m增加的重力势能D.m0和m组成的系统机械能守恒解析:m0下落过程,绳的拉力对m0做负功,m0的机械能减少;m上升过程,绳的拉力对m做正功,m的机械能增加,A错误;对m0、m组成的系统,机械能守恒,易得B、D正确;m0减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加,还有一部分转变成m0、m的动能,所以C错误。答案:BD探究一探究二探究三随堂检测变式训练1(多选)如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上,现将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是()A.斜劈对小球的弹力不做功B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒C.斜劈的机械能守恒D.小球机械能的减小量等于斜劈动能的增加量解析:小球有竖直方向的位移,所以斜劈对小球的弹力对球做负功,故A选项错误;小球对斜劈的弹力对斜劈做正功,所以斜劈的机械能增加,故C选项错误;不计一切摩擦,小球下滑过程中,小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化,系统机械能守恒,故B、D选项正确。答案:BD探究一探究二探究三随堂检测多物体组成的系统机械能守恒问题情景导引如图所示,装置固定在杆恰好水平的位置,然后由静止释放,当杆到达竖直位置的过程中,球1的机械能如何变化?球2机械能如何变化?两个球和杆组成的系统机械能如何变化?(忽略空气等阻力)要点提示:球1的高度和速度都变大,所以机械能增加。球2下落的过程中需克服杆的阻力做功,所以球2的机械能减少。整个系统没有机械能与其他形式能的转化,所以系统的机械能是守恒的。探究一探究二探究三随堂检测知识归纳多物体组成的系统问题1.对多个物体组成的系统列守恒方程时常有两种表达形式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2①或ΔEk增=ΔEp减②,运用①式需要选取合适的参考平面,运用②式无需选取参考平面,只要判断系统动能(或势能)的增加量和势能(或动能)减少量即可。所以处理多物体组成的系统问题用第②式较为方便。2.构建物体间的速度关系式和位移关系式。探究一探究二探究三随堂检测实例引导例2如图所示,质量都为m的A、B两金属环用细线相连后,分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上,细线长l=0.4m,今将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放,求当运动到使细线与水平方向成30°角时,金属环A和B的速度。(g取10m/s2)探究一探究二探究三随堂检测解析:将A释放后,在A、B运动过程中,因为系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化,两物体机械能之和是保持不变的。设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时,A和B的速度分别为vA、vB,将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解,如图所示,由分析知,它们在沿细线方向上的分速度v1和v3相等,所以有vAsinθ=vBcosθ①在这一过程中A下降的高度为lsinθ,因两环组成的系统机械能守恒,则有mglsinθ=12𝑚𝑣𝐴2+12𝑚𝑣𝐵2②由①②代入数值解得vA=3m/s,vB=1m/s。答案:3m/s1m/s探究一探究二探究三随堂检测规律方法由两个物体和轻杆(或轻绳)组成的系统,若没有摩擦力和阻力做功时,运动过程中只有重力势能、动能之间的相互转化,系统满足机械能守恒定律。处理这类问题的方法:(1)找到两物体的速度关系,从而确定系统动能的变化。(2)找到两物体上升或下降的高度关系,从而确定系统重力势能的变化。(3)按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解。探究一探究二探究三随堂检测变式训练2如图所示,在长为l的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球,杆可绕轴O无摩擦地转动,使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时,杆对A、B两球分别做了多少功?探究一探究二探究三随堂检测解析:设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象,因为机械能没有转化为其他形式的能,故系统机械能守恒,可得mgl+12mgl=12𝑚𝑣𝐴2+12𝑚𝑣𝐵2因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同,故vB=2vA由以上二式得:vA=3𝑔𝑙5,vB=12𝑔𝑙5。根据动能定理,可解出杆对A、B两球做的功。对A有WA+mg·𝑙2=12𝑚𝑣𝐴2-0,所以WA=-15mgl。对B有WB+mgl=12𝑚𝑣𝐵2-0,所以WB=15mgl。答案:-15mgl15mgl探究一探究二探究三随堂检测机械能守恒定律和动能定理的应用比较情景导引如图所示,狗拉雪橇在雪地上由静止开始先做匀加速运动,后做匀减速运动,最后停下来。请思考:(1)根据牛顿第二定律分析此运动过程,可否将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑?(2)用动能定理分析时比用牛顿第二定律分析有何优点?探究一探究二探究三随堂检测要点提示:(1)加速和减速过程的加速度不同,因此根据牛顿第二定律分析不能将加速和减速过程合并为一个全过程来考虑。(2)动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能,并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。探究一探究二探究三随堂检测知识归纳动能定理和机械能守恒定律的比较比较项动能定理机械能守恒定律研究对象单个物体(或多个物体)系统(或单个物体)内容动能变化与引起这种变化的合力的功的关系系统(或单个物体)初末状态的机械能的关系条件无条件只有重力(或弹力)做功选择原则单个物体(或多个物体),任何性质的力做功之和系统,只有重力(或弹力)做功探究一探究二探究三随堂检测实例引导例3如图所示,光滑细圆管轨道AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,C为半圆的最高点。有一质量为m,半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管。(1)若要小球从C端出来,初速度v0应满足什么条件?(2)在小球从C端出来瞬间,对管壁压力有哪几种情况,初速度v0应各满足什么条件?探究一探究二探究三随堂检测解析:(1)小球恰好能达到最高点的条件是vC=0,由机械能守恒定律,此时需要初速度v0满足12𝑚𝑣02=mg·2R,得v0=2𝑔𝑅,因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v02𝑔𝑅。(2)小球从C端出来瞬间,对管壁作用力可以有三种情况:①刚好对管壁无作用力,此时重力恰好充当向心力,由圆周运动知识有mg=m𝑣𝐶2𝑅。由机械能守恒定律有12𝑚𝑣02=mg·2R+12𝑚𝑣𝐶2,联立解得v0=5𝑔𝑅。②对下管壁有作用力,此时应有mgm𝑣𝐶2𝑅,此时相应的入射速度v0应满足2𝑔𝑅v05𝑔𝑅。③对上管壁有作用力,此时应有mgm𝑣𝐶2𝑅,此时相应的入射速度v0应满足v05𝑔𝑅。答案:见解析探究一探究二探究三随堂检测规律方法动能定理与机械能守恒定律的选择原则(1)对单个物体(包括地球为系统)只受重力作用时,动能定理和机械能守恒定律均适用,所列方程变形后相同;(2)对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便;(3)对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程。探究一探究二探究三随堂检测变式训练3如图所示,某人以v0=4m/s的速度斜向上(与水平方向成25°角)抛出一个小球,小球落地时速度为v=8m/s,不计空气阻力,求小球抛出时的高度h。甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mgh=12mv2-12𝑚𝑣02”后争论了起来。甲说此解法依据的是动能定理,乙说此解法依据的是机械能守恒定律,你对甲、乙两位同学的争论持什么观点,请简单分析,并求出抛出时的高度h。(g取10m/s2)探究一探究二探究三随堂检测解析:甲、乙两位同学的说法均正确。从抛出到落地,重力做功mgh,动能增加12mv2-12𝑚𝑣02,由动能定理可知mgh=12mv2-12𝑚𝑣02,所以甲说法对。从抛出到落地,重力势能减少mgh,动能增加12mv2-12𝑚𝑣02,由机械能守恒定律mgh=12mv2-12𝑚𝑣02,乙说法也对。h=𝑣2-𝑣022𝑔=482×10m=2.4m。答案:见解析探究一探究二探究三随堂检测1.(多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A.甲图中,火箭升空的过程中,若匀速升空机械能守恒,若加速升空机械能不守恒B.乙图中物体匀速运动,机械能守恒C.丙图中炮弹爆炸前后机械能守恒D.丁图中,轻弹簧将A、B两小车弹开,两小车组成的系统机械能不守恒,两小车和弹簧组成的系统机械能守恒探究一探究二探究三随堂检测解析:题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升,由于有推力做功,机械能增加,因而机械能不守恒。题图乙中拉力F做功,机械能不守恒。题图丙中,炮弹爆炸过程中,化学能转化为机械能,炮弹的机械能不守恒。题图丁中,弹簧的弹力做功,弹簧的弹性势能转化为两小车的动能,两小车与弹簧组成的系统机械能守恒。答案:D探究一探究二探究三随堂检测2.如图所示,在一长为2l不可伸长的轻杆两端各固定一质量为2m与m的小球A、B,系统可绕过轻杆的中点且垂直纸面的固定转轴O转动。初始时轻杆处于水平状态,无初速度释放后轻杆转动,当轻杆转至竖直位置时,求小球A的速率。(不计任何阻力)探究一探究二探究三随堂检测解析:A球和B球组成的系统机械能守恒由机械能守恒定律得:2mgl-mgl=12𝑚𝑣𝐵2+12(2m)𝑣𝐴2①又vA=vB②由①②解得vA=2𝑔𝑙3。答案:2𝑔𝑙3探究一探究二探究三随堂检测3.如图所示,AB是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道,下端B点与水平直轨道相切。一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑,已知轨道半径为R=0.2m,小物块的质量为m=0.1kg,小物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5(g取10m/s2)。求:(1)小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力。(2)小物块在水平面上滑动的最大距离。探究一探究二探究三随堂检测解析:(1)由机械能守恒定律,得mgR=12𝑚𝑣𝐵2,在B点FN-mg=m𝑣𝐵2𝑅,联立以上两式得FN=3mg=3×0.1×10N=3N。(2)设小物块在水平面上滑动的最大距离为l,对小物块运动的整个过程由动能定理得mgR-μmgl=0,代入数据得l=𝑅𝜇=0.20.5m=0.4m。答案:(1)3N(2)0.4m