高中数学-棱柱棱锥棱台和球的表面积教案

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积示范教案整体设计教学分析教材通过分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略．这是本节课的灵魂，在教学中，应加以重视．本节教材直接给出了球的表面积．值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点．三维目标1．了解简单几何体的侧面展开图，并获得表面积公式，提高学生分析问题、解决问题的能力．2．会求简单几何体的侧面积和表面积，提高学生的运算能力．3．掌握球的表面积，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，渗透转化与化归的数学思想．重点难点教学重点：①面积公式的推导及其应用；②球的表面积公式的应用．教学难点：①求简单几何体的侧面积；②关于球的几何体的计算．课时安排1课时教学过程导入新课在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的呢？你能否计算？推进新课新知探究提出问题(1)如图1所示分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图，试归纳直棱柱的侧面展开图形状及侧面积公式．归纳正棱锥的侧面展开图形状及侧面积公式．图1(2)如图2是正四棱台的展开图，由此归纳正棱台的侧面积公式．图2(3)想一想，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到它们的侧面积公式？(4)阅读教材，写出球的表面积公式．讨论结果：(1)直棱柱的侧面展图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式S直棱柱侧＝ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，容易得到正n棱锥的侧面积的计算公式S正棱锥侧＝12nah′＝12ch′.即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．(2)正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．设棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，可以得出正n棱台的侧面积公式S正棱台侧＝n·12(a＋a′)h′＝12(na＋na′)h′＝12(c＋c′)h′，即S正棱台侧＝12＋＝12＋这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．(3)S圆柱侧＝2πRh，S圆锥侧＝πRl.(4)S球表＝4πR2即球面面积等于它的大圆面积的四倍．应用示例思路1例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为35°(下图)，求正四棱锥的侧面积及全面积(单位：cm2，精确到0.01)．解：正棱锥的高PO、斜高PE和底面边心距OE组成直角△POE.因为OE＝2cm，∠OPE＝35°，所以斜高PE＝OEsin35°＝20.574≈3.49(cm)．因此S棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×3.49＝27.92(cm2)，S棱锥全＝27.92＋16＝43.92(cm2)．变式训练1．（2008山东高考，6）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如下图所示，故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.答案：D2.圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)解：如下图，设上底周长为c.因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.又因为c＝2π×10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，S圆台侧＝π(r1＋r2)AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．2如下图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的．球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R：(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R＝2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到0.1kg)．解：(1)因为S正四棱台＝4×12×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝12(4×2.5＋4×3)×0.6R2＋6.25R2＋9R2＝21.85R2，S球＝4πR2.因此，这个盖子的全面积为S全＝(21.85＋4π)R2.(2)取R＝2，π＝3.14，得S全＝137.67cm2.又(137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)．因此，涂100个这样的盖子共需涂料约0.6kg.变式训练1．一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)．解：S＝S侧面积＋S底面积＝πdh＋2π(d2)2＝π×1×2.3＋π×122≈8.8(m2)．2．有位油漆工用一把长度为50cm，横截面半径为10cm的圆柱形刷子给一块面积为10m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01s)解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π·0.1·0.5＝0.1πm2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5πm2，因此油漆工完成任务所需的时间t＝10m20.5πm2＝20π≈6.37(s)．点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题．解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积．从而使问题迎刃而解．思路2例3如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100mL油漆，涂100个这样的花盆需要多少mL油漆？(π取3.14，结果精确到1mL，可用计算器)分析：只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．解：如上图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S＝π[(152)2＋152×15＋202×15]－π(1.52)2≈1000(cm2)＝0.1(m2)．涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100＝1000(mL)．答：涂100个这样的花盆需要1000mL油漆．点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用．变式训练如下图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4π分析：设圆锥的母线长为l，则l＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C例4下图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少？(π取3.14)活动：因为正方体的棱长为4cm，而孔深只有1cm，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1cm，底面圆的半径为1cm.解：正方体的表面积为16×6＝96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)，则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68(cm2)．答：几何体的表面积为133.68cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．变式训练（2008深圳市高三年级第一次调研，理3）如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()A.32πB．2πC．3πD．4π解析：该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其全面积是2π×12×1＋2π×(12)2＝32π.答案：A知能训练1．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是__________．解析：如上图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意，得π2l2＝S，πl＝2πr，解得r＝S2π.所以圆锥的底面积为πr2＝π×S2π＝S2.答案：S22．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC(下图)，求它的表面积．分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC＝a，SD＝SB2－BD2＝a2－a22＝32a，所以S△SBC＝12BC·SD＝12a×32a＝34a2.因此，四面体S—ABC的表面积S＝4×34a2＝3a2.3．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积．解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧＝S，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的母线(高)长为S2πr.由题意得圆锥的高为S2πr.又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l＝r2＋S2πr2，根据圆锥的侧面积公式，得S圆锥侧＝πrl＝π·r·r2＋S2πr2＝4π2r4＋S22.4．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是32cm，求三棱台的侧面积．解：如下图，O1、O分别是上、下底面中心，则O1O＝32，连结A1O1并延长交B1C1于D1，连结AO并延长交BC于D，过D1作D1E⊥AD于E.在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝32，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝13×32×(6－3)＝32，DD1＝D1E2＋DE2＝3，S正三棱台侧＝12(c＋c′)DD1＝2732(cm2)．即三棱台的侧面积为2732cm2.拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________．探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28；三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a2＋48.最小的是一个四棱柱，这说明24a2＋2812a2＋4812a2200a153.答案：0a153课堂小结本节课学习了：1．简单几何体的面积公式；2．应用面积公式解决有关问题．作业本节练习A2,3,4题．设计感想新课标对本节内容的要求很低，属于了解层次，并且面积公式不要求记忆，教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上．备课资料备选习题（2008江苏省南京市一模）已知一个空间几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体是底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3的直三棱柱，其侧面积是3(2＋2＋2)＝18，两底面积是2(34×22)＝23，所以这个几何体的表面积是18＋23.答案：18＋23