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-1-1.3二项式定理-2-1.3.1二项式定理ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项.2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的变化及系数与组合数的联系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.二项式定理二项展开式:(a+b)n=C𝑛0𝑎𝑛+C𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+⋯+C𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘+⋯+C𝑛𝑛𝑏𝑛(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C𝑛𝑘(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.归纳总结二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,是和的形式,各项的幂指数的规律是:(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.解:(a+2b)6=C60a6+C61a5(2b)+C62a4(2b)2+C63a3(2b)3+C64a2(2b)4+C65a(2b)5+C66(2b)6=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6.【做一做1】写出(a+2b)6的展开式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.二项展开式的通项名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项(或系数),如常数项、有理项等.2.(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同.(a+b)n的二项展开式中的第k+1项C𝑛𝑘an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=C𝑛𝑘an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*).【做一做2】(x-y)8的二项展开式中,第4项的系数为.(用数字回答)答案:-56解析:由已知T4=C83x5(-y)3=-56x5y3,则第4项的系数为-56.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数剖析两者是不同的概念.C𝑛𝑟(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7的二项展开式的第4项的二项式系数为C73=35,而其第4项的系数为C73·23=280.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.如何用组合的知识理解二项式定理剖析由于(a+b)n=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)…(𝑎+𝑏)𝑛个,将(a+b)看作是含有红球(a)、白球(b)的盒子,则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则是这种结果的方法数,如an-rbr是从这n个盒子中取出r个白球(b)、(n-r)个红球(a)的情况,其方法数为𝐶nr,因此有(a+b)n=𝐶n0an+𝐶n1an-1b+…+𝐶nran-rbr+…+𝐶nnbn(n∈N*).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一二项式定理的正用与逆用【例1】(1)求2𝑥+1𝑥4的展开式;(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:2𝑥+1𝑥4=C40(2𝑥)41𝑥0+C41(2𝑥)3·1𝑥+C42·(2𝑥)2·1𝑥2+C43(2𝑥)·1𝑥3+C44·(2𝑥)0·1𝑥4=16x2+32x+24+8𝑥+1𝑥2.方法二:2𝑥+1𝑥4=2𝑥+1𝑥4=1𝑥2(2x+1)4=1𝑥2·[C40(2x)4·10+C41·(2x)3·11+C42·(2x)2·12+C43(2x)·13+C44·(2x)0·14]=1𝑥2(16x4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24+8𝑥+1𝑥2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.2.逆用二项式定理要注意结合二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是(a-b)n的形式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)求2𝑥-32𝑥25的展开式;(2)化简:C𝑛0(x+1)n-C𝑛1(x+1)n-1+…+(-1)rC𝑛𝑟(x+1)n-r+…+(-1)nC𝑛𝑛;(3)化简:C𝑛1+3C𝑛2+9C𝑛3+…+3n-1C𝑛𝑛.解:(1)方法一:2𝑥-32𝑥25=C50(2x)5+C51(2x)4·-32𝑥2+C52(2x)3-32𝑥22+C53(2x)2-32𝑥23+C54(2x)·-32𝑥24+C55-32𝑥25=32x5-120x2+180𝑥−135𝑥4+4058𝑥7−24332𝑥10.方法二:2𝑥-32𝑥25=(4𝑥3-3)532𝑥10=132𝑥10(1024x15-3840x12+5760x9-4320x6+1620x3-243)=32x5-120x2+180𝑥−135𝑥4+4058𝑥7−24332𝑥10.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(2)C𝑛0(x+1)n-C𝑛1(x+1)n-1+…+(-1)rC𝑛𝑟·(x+1)n-r+…+(-1)nC𝑛𝑛=[(x+1)-1]n=xn.(3)可设Sn=C𝑛1+3C𝑛2+9C𝑛3+…+3n-1C𝑛𝑛,于是3Sn=3C𝑛1+32C𝑛2+33C𝑛3+…+3nC𝑛𝑛=C𝑛0+3C𝑛1+32C𝑛2+33C𝑛3+…+3nC𝑛𝑛-1,则Sn=(1+3)𝑛-13=4𝑛-13.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二利用通项求二项展开式中的特定项【例2】已知在x3-12𝑥3𝑛的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析利用展开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)由通项公式知,展开式中第k+1项为Tk+1=C𝑛𝑘·(x3)n-k·-12𝑥3𝑘=C𝑛𝑘·(𝑥13)n-k·-12·𝑥-13𝑘=-12𝑘·C𝑛𝑘𝑥𝑛-2𝑘3.∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12𝑘·C10𝑘·𝑥10-2𝑘3.令10-2𝑘3=2,则k=2.故x2的系数为-122·C102=14×45=454.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(3)当Tk+1为有理项时,10-2𝑘3为整数,0≤k≤10,且k∈N.令10-2𝑘3=z,则k=5-32z,∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,k=2,5,8符合条件.∴有理项为T3=C102·-122x2=454x2,T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施:(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.(4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数幂,以减少计算中的错误.2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.(1)求第k项.Tk=C𝑛𝑘-1an-k+1bk-1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】若𝑥+12x4n展开式中前三项的系数依次成等差数列.求:(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有的有理项.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:通项为Tr+1=𝐶nr·xn-r·12𝑥4𝑟.由已知条件知,C𝑛0+C𝑛2·122=2C𝑛1·12,解得n=8或n=1(舍去).(1)Tr+1=C8𝑟·𝑥8-𝑟·12x4r=𝐶8r·2-r·x4-34r.令4−34𝑟=1,解得r=4,故展开式中含x的一次幂的项为T4+1=C84·2-4·x=358𝑥.(2)令4−34𝑟∈Z(r≤8),则只有当r=0,4,8时,对应的项才为有理项,有理项分别为T1=x4,T5=358𝑥,𝑇9=1256𝑥2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三利用二项式定理解整除问题及求余数问题【例3】(1)用二项式定理证明1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余数.分析利用二项式定理证明整除问题的关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用1110=(