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-1-1.2排列与组合-2-1.2.1排列ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过实例正确理解排列的意义,能利用树形图写出简单问题的所有排列.2.理解和掌握排列和排列数公式,能应用排列及排列数公式解决某些实际问题.3.掌握几种具有限制条件的题型,如团体排列,插空问题等,掌握解决有关排列问题的一些方法,如直(间)接法,捆绑法,优先考虑特殊位置(元素)等.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.排列的相关概念(1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的m个元素也是不同的.2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1】下列问题中,是排列问题的是()A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选5人组成篮球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析:选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.排列数与排列数公式(1)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A𝑛𝑚表示.(2)排列数公式:A𝑛𝑚=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12(3)全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.即有A𝑛𝑛=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,就是说,n个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成A𝑛𝑛=n!,A𝑛𝑚还可以表示为𝑛!(𝑛-𝑚)!.另外,我们规定0!=1.对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘表示.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12归纳总结应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活地运用如下变式:(1)n!=n(n-1)!;(2)A𝑛𝑚=nA𝑛-1𝑚-1;(3)n·n!=(n+1)!-n!;(4)𝑛-1𝑛!=1(𝑛-1)!−1𝑛!.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】若=9×10×11×12,则m的值为()A.3B.4C.5D.6解析:9到12共4个数,由排列数公式得m=4.答案:BA12𝑚【做一做2-1】信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有()A.1种B.3种C.6种D.27种解析:A33=3×2×1=6.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.如何判断一个具体问题是不是排列问题剖析判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时,是有序的还是无序的,有序就是排列,无序就不是排列.例如,从3,5,7,10,13五个数中任取两个数相加(相乘),可得到多少个不同的和(积)?从这五个数中任意取出两个数做加法(乘法),因为加法(乘法)满足交换律,它们的和(积)与顺序无关,因此就不是排列问题;如果是从上面这五个数中任取两个数相除,一共有多少个不同的商?因为,也就是除法不满足交换律,存在被除数和除数的区别,取出的两个数就与顺序有关了,这就属于排列问题.35≠53ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数.例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是从a,b,c中任取2个元素的排列数.归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排列数公式求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一简单的排列问题【例1】从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,可以组成哪些两位数?一共可以组成多少个?分析解答时首先按顺序分步解决,然后利用树形图列出所有排列.解:由题意作树形图,如下.故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.反思在“树形图”的操作中,首先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类,在每类中再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类,依次一直进行到完成一个排列,这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】写出从五个元素a,b,c,d,e中任取3个元素的所有排列.解:由题意作树形图,如下.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四故所有排列为abc,abd,abe,acb,acd,ace,adb,adc,ade,aeb,aec,aed,bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed,cab,cad,cae,cba,cbd,cbe,cda,cdb,cde,cea,ceb,ced,dab,dac,dae,dba,dbc,dbe,dca,dcb,dce,dea,deb,dec,eab,eac,ead,eba,ebc,ebd,eca,ecb,ecd,eda,edb,edc.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二利用排列数公式求值或化简【例2】(1)计算2A43+A44;(2)计算4A84+2A85A88-A95;(3)求3A8𝑥=4A9𝑥-1中的x.分析(1)(2)两题直接运用排列数的公式计算.(3)用排列数的公式展开得方程求解.要注意x的取值范围,并检验根是否合理.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)2A43+A44=2×4×3×2+4×3×2×1=72.(2)4A84+2A85A88-A95=4A84+2×4A844×3×2A84-9A84=4+824-9=45.(3)原方程3A8𝑥=4A9𝑥-1可化为3×8!(8-𝑥)!=4×9!(10-𝑥)!,即3×8!(8-𝑥)!=4×9×8!(10-𝑥)(9-𝑥)(8-𝑥)!,化简,得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.由题意知𝑥≤8,𝑥-1≤9,解得x≤8.故原方程的解为x=6.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.排列数公式A𝑛𝑚=𝑛(𝑛−1)·…·(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点.2.排列数公式A𝑛𝑚=𝑛!(𝑛-𝑚)!适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n,且n∈N*,m∈N*”的运用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*,且n55);(2)计算:2A85+7A84A95-A85;(3)化简求值:①1!+2·2!+3·3!+…+n·n!;②12!+23!+34!+…+𝑛-1𝑛!.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且元素总数目为(69-n)-(55-n)+1=15.∴(55-n)(56-n)…(69-n)=A69-𝑛15.(2)2A85+7A84A95-A85=2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×59×8×7×6×5-8×7×6×5×4=8×7×6×5×(8+7)8×7×6×5×(9-4)=3.(3)①原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.②∵𝑛-1𝑛!=1(𝑛-1)!−1𝑛!,∴12!+23!+34!+…+𝑛-1𝑛!=11!−12!+12!−13!+13!−14!+…+1(𝑛-1)!−1𝑛!=1-1𝑛!.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三有限制条件的排列问题【例3】用0,1,2,3,4这五个数字组成五位数:(1)可组成多少个五位数?(2)可组成多少个无重复数字的五位数?(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?(4)若1和3相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(5)若1和3不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(6)若1不在万位,2不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位数?分析该题目中的特殊元素为0,它不能放在首位.(1)首位不为0,数字可以重复;(2)限制首位不为0,且数字不可以重复;(3)限制末位是奇数,首位不是0;(4)把1,3看成整体进行排列;(5)可间接求,也可用插空法直接求;(6)可从特殊位置或元素入手分析.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三