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-1-1.7.1定积分在几何中的应用目标导航1.体会定积分在解决几何问题中的作用.2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.知识梳理1.利用定积分求平面图形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定被积函数以及积分的上、下限.(2)若一平面图形是由y=f1(x),y=f2(x)及x=a,x=b(ab)所围成,并且在[a,b]上f1(x)≤f2(x),则该平面图形的面积S=𝑏𝑎[f2(x)-f1(x)]dx.知识梳理【做一做1】如图,阴影部分的面积为()A.𝑏𝑎𝑓(x)dxB.𝑏𝑎𝑔(x)dxC.𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dxD.𝑏𝑎[g(x)-f(x)]dx解析:由题图知当x∈[a,b]时,f(x)g(x),故所求面积S=𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dx.答案:C知识梳理2.平面图形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系(1)如图①,阴影部分的面积为S=−𝑎0𝑔(x)dx+𝑎0𝑓(x)dx=𝑎0[f(x)-g(x)]dx.(2)如图②,阴影部分的面积为S=𝑏0[f(x)-g(x)]dx+𝑎𝑏[f(x)-c(x)]dx.所以,平面图形的面积等于平面图形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分.知识梳理【做一做2】用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是()A.𝑐𝑎𝑓(x)dxB.f𝑐𝑎(x)d𝑥C.𝑏𝑎𝑓(x)dx+𝑐𝑏𝑓(x)dxD.𝑐𝑏𝑓(x)dx−𝑏𝑎𝑓(x)dx解析:由定积分的几何意义知S=𝑐𝑏𝑓(x)dx−𝑏𝑎𝑓(x)dx.故选D.答案:D重难聚焦1.几种典型的平面图形面积的计算剖析(1)求由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ab)及y=0所围成的平面图形的面积S.①如图a,f(x)0,𝑏𝑎𝑓(x)dx0,S=𝑏𝑎𝑓(x)dx.②如图b,f(x)0,𝑏𝑎𝑓(x)dx0,S=f𝑏𝑎(x)d𝑥=−𝑏𝑎𝑓(x)dx.重难聚焦③如图c,当a≤xc时,f(x)0,𝑐𝑎𝑓(x)dx0;当cx≤b时,f(x)0,𝑏𝑐𝑓(x)dx0,S=f𝑐𝑎(x)d𝑥+𝑏𝑐𝑓(x)dx=−𝑐𝑎𝑓(x)dx+𝑏𝑐𝑓(x)dx.c重难聚焦(2)由两条曲线f(x)和g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积S.①如图d,当f(x)g(x)0时,S=𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dx.②如图e,当f(x)0,g(x)0时,S=𝑏𝑎𝑓(x)dx+g𝑏𝑎(x)d𝑥=𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dx.重难聚焦2.求平面图形的面积的步骤有哪些?剖析(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定积分上、下限.(3)确定被积函数,要特别注意分清被积函数的上、下位置.(4)写出平面图形面积的定积分表达式,运用微积分基本定理计算定积分,从而求出平面图形的面积.典例透析题型一题型二题型三题型四不分割型图形面积的求解【例1】求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.分析:作图→求抛物线与直线的交点→写积分表达式→求定积分得面积解:由𝑦=𝑥2-4,𝑦=-𝑥+2,得𝑥=-3,𝑦=5或𝑥=2,𝑦=0,根据图形可得S=2-3(-x+2)dx−2-3(x2-4)dx=2𝑥-12𝑥2|-32−13𝑥3-4𝑥|-32=252−-253=1256.所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-4的交点为(-3,5)和(2,0).设所求图形的面积为S,典例透析题型一题型二题型三题型四反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:同时,要注意定积分与图形面积的区别:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围成的图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析:根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a0).因为f(x)的图象经过(0,1)点,所以-a=1,即a=-1.所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.所以S=1-1(1-x2)dx=210(1-x2)dx=2𝑥-13𝑥3|01=2×1-13=43.答案:B典例透析题型一题型二题型三题型四分割型图形面积的求解【例2】求由曲线y=𝑥,直线y=2-x,y=−13𝑥所围成图形的面积S.分析:可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积分区间,再分段利用公式求解.解:画出草图,如图所示.解方程组𝑦=𝑥,𝑥+𝑦=2,𝑦=𝑥,𝑦=-13𝑥及𝑥+𝑦=2,𝑦=-13𝑥,得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=10𝑥--13𝑥dx+31(2-𝑥)--13𝑥dx=10𝑥+13𝑥dx+312-23𝑥dx=23𝑥32+16𝑥2|01+2𝑥-13𝑥2|13=23+16+6−13×9-2+13=136.典例透析题型一题型二题型三题型四反思由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行分解细化,然后根据图象对各个区间分别求面积进而求和,在每个区间上被积函数均是由上减下.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求由曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积S.解:在同一平面直角坐标系中作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组𝑦=𝑥2,𝑦=𝑥,得交点(1,1),(0,0),解方程组𝑦=𝑥2,𝑦=3𝑥,得交点(3,9),(0,0),因此所求图形的面积为S=10(3x-x)dx+31(3x-x2)dx=102xdx+31(3x-x2)dx=x2|01+32𝑥2-13𝑥3|13=1+32×32-13×33−32×12-13×13=133.典例透析题型一题型二题型三题型四综合应用【例3】如图,在曲线C:y=x2,x∈[0,1]上取点P(t,t2),过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x=0,x=1及直线l围成的图形包括两部分,面积分别记为S1,S2.(1)求t的值,使S1=S2;(2)求t的值,使S=S1+S2最小.分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出用t表示的两部分的面积S1,S2的表达式,再根据各小题的条件求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解:根据题意,直线l的方程是y=t2,且0t1.结合题中图形,得曲线C与x=0,y=t2,x=1的交点坐标分别是(0,0),(t,t2),(1,1).所以𝑆1=𝑡0(t2-x2)dx=𝑡2𝑥-13𝑥3|0𝑡=𝑡3−13𝑡3=23𝑡3,0t1.𝑆2=1𝑡(x2-t2)dx=13𝑥3-𝑡2𝑥|𝑡1=13-𝑡2−13𝑡3-𝑡3=23𝑡3-𝑡2+13,0t1.(1)由S1=S2,得23𝑡3=23𝑡3-𝑡2+13,解得𝑡3=13.∵0t1,∴t=33.∴当t=33时,使S1=S2.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由S=S1+S2,得S=S(t)=43𝑡3-𝑡2+13,0t1,则S'(t)=4t2-2t,解方程4t2-2t=0,得t1=0(舍去),𝑡2=12.当t变化时,S'(t)与S(t)的变化情况如下表:t0,121212,1S'(t)-0+S(t)↘14↗由表知,当t=12时,S(t)取极小值14,也就是在区间(0,1)上的最小值.故当t=12时,S=S1+S2最小.反思涉及不规则平面图形的面积问题,可考虑采用定积分来处理,在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关量间的关系;(2)定积分的正确计算.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线,使之与曲线y=x2(x≥0)以及x轴所围成的图形面积为112,试求切点A的坐标以及过切点A的切线方程.典例透析题型一题型二题型三题型四解:如图,设切点A(x0,y0),由y'=2x,则过点A的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x−𝑥02.令y=0,得x=𝑥02,即𝐶𝑥02,0.设由曲线和过点A的切线及x轴所围成图形的面积为S,S=S曲边三角形AOB-S△ABC,S曲边三角形AOB=𝑥00𝑥2dx=13𝑥3|0𝑥0=13𝑥03.S△ABC=12|𝐵𝐶||𝐴𝐵|=12𝑥0-𝑥02𝑥02=14𝑥03,则S=13𝑥03−14𝑥03=112𝑥03=112,解得x0=1,从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:被积函数上、下限不对应而致错【例4】求由抛物线y2=8x(y≥0),直线x+y-6=0与y=0所围成图形的面积S.错解由题意,作图形,如图所示,解方程组𝑦2=8𝑥(𝑦≥0),𝑥+𝑦-6=0,得𝑥=2,𝑦=4.所以抛物线y2=8x(y≥0)与直线x+y-6=0的交点坐标为(2,4).由y2=8x(y≥0)可得y=8𝑥,所以所求面积S=40(6-x−8𝑥)dx=6𝑥-12𝑥2-22×23𝑥32|04=24-8−432×432=16−3232.典例透析题型一题型二题型三题型四错因分析应用定积分求平面图形的面积,要注意结合图形确定被积函数与积分变量,上面的错解由于被积函数与积分上、下限不对应导致错误.正解:同错解得交点坐标为(2,4),所以所求面积S=208𝑥dx+62(6-x)dx=22×23𝑥32|02+6𝑥-12𝑥2|26=423×232+(36-18)-(12-2)=403.典例透析