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-1-1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程目标导航1.了解定积分的实际背景.2.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.3.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.知识梳理1.连续函数一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的连续函数.【做一做1】下列函数中,在其定义域内不是连续函数的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=sinxC.f(x)=lgx-1D.f(x)=𝑥2,𝑥≥0-𝑥+1,𝑥0解析:作出各个函数的图象(图略),可知应选D.答案:D知识梳理2.曲边梯形的面积(1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图a).(2)求曲边梯形面积的方法与步骤:①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图b);知识梳理②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值;③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和;④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积.知识梳理【做一做2-1】已知函数f(x)=x2,则在区间𝑖-1𝑛,𝑖𝑛上()A.f(x)的值变化很小B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变D.当n很大时,f(x)的值变化很小答案:D知识梳理【做一做2-2】求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5等分,如图所示,以抛物线f(x)=x2在小区间中点处的函数值为高,所有小矩形的面积之和为.解析:由题意得所有小矩形的面积之和为(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33.答案:0.33知识梳理3.变速直线运动的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.重难聚焦1.如何理解求曲边梯形的面积?剖析曲线、平行于y轴的直线以及x轴所围成的图形,通常称为曲边梯形,一个特殊的曲边梯形如图所示,也是一个曲边三角形.要求一个曲边梯形的面积,不能用已有的面积公式计算,为了计算曲边梯形的面积,可以将它分割成许多个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积用相应的小矩形的面积近似代替,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.当分割的小矩形的宽无限变短时,这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积.重难聚焦求解步骤为:(1)分割:“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”.例子中以“矩形”代替“曲边梯形”,分割的等份数越多,这种“代替”就越精确.当n越大时,所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积.教材采用了“等分”的办法,即在区间[0,1]上等间隔地插入了(n-1)个点,将它等分成n个小区间.实际上,在定积分理论中,这种分割应当是任意的,只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以了.(2)近似代替:在“近似代替”中,教材在每一个小区间𝑖-1𝑛,𝑖𝑛上取左端点,是为了计算方便,事实上,可以取右端点或区间上的任意点,没有统一的要求.为了运算方便,通常取一些特殊点.(3)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和.(4)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷大时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积.重难聚焦2.如何理解求汽车行驶的路程的方法?剖析把求变速直线运动的路程问题,转化为求匀速直线运动的路程问题.采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限.求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积,虽然它们的意义不同,但都可以归纳出求一个特定形式和的极限.在求汽车行驶的路程时,教材采取“以不变代变”的方法,把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,类比求曲边梯形面积的思想方法和基本步骤,可得:将区间[0,1]等分成n个小区间,在每个小区间上,由于速度函数v(t)的变化很小,可以认为汽车近似于做匀速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值.再求和得s的近似值,最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值,与求曲边梯形的面积相比,这里采用的“以不变代变”的思想方法更直观、更容易理解.重难聚焦求解步骤为:(1)分割:n等分区间[a,b].(2)近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi].(3)求和:∑𝑖=1𝑛𝑓(ξi)·b-an.(4)取极限:s=𝑙𝑖𝑚n→∞∑𝑖=1𝑛𝑓(ξi)·𝑏-𝑎𝑛.知识拓展求和时常用的结论:(1)12+22+32+…+n2=16𝑛(n+1)(2n+1);(2)13+23+33+…+n3=𝑛(𝑛+1)22.典例透析题型一题型二求曲边梯形的面积【例1】求由直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x3所围成的曲边梯形的面积S.分析:先作出草图,确定曲边梯形的大致形状,再利用分割求和的方法求解.解:(1)分割把所求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形,用分点𝑛+1𝑛,𝑛+2𝑛,…,𝑛+(𝑛-1)𝑛把区间[1,2]等分成n个小区间1,𝑛+1𝑛,𝑛+1𝑛,𝑛+2𝑛,…,𝑛+𝑖𝑛,𝑛+𝑖+1𝑛,…,𝑛+(𝑛-1)𝑛,2,每个小区间的长度为Δx=𝑛+𝑖+1𝑛−𝑛+𝑖𝑛=1𝑛,过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作ΔS0,ΔS1,…,ΔSn-1.典例透析题型一题型二(2)近似代替在区间𝑛+𝑖𝑛,𝑛+𝑖+1𝑛上,取其左端点ξi=𝑛+𝑖𝑛,用以点ξi处的函数值f(ξi)=𝜉𝑖3为一边,以小区间长Δx=1𝑛为另一边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,可以近似地表示为ΔSi≈𝜉𝑖3·Δx=𝑛+𝑖𝑛3·1𝑛(i=0,1,2,3,…,n-1).(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值,即∑𝑖=0𝑛-1ΔSi≈∑i=0n-1𝑛+𝑖𝑛3·1𝑛(i=0,1,2,3,…,n-1).①典例透析题型一题型二(4)取极限当分点数目越多,即Δx越小时,和式①的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积.所以由直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x3所围成的曲边梯形的面积为154.因为∑𝑖=0𝑛-1𝑛+𝑖𝑛3·1𝑛=1𝑛4∑𝑖=0𝑛-1(n+i)3=1𝑛4∑𝑖=0𝑛-1(n3+3n2i+3ni2+i3)=1𝑛4𝑛4+3𝑛2·𝑛(𝑛-1)2+3n·16(n-1)n(2n-1)+14(𝑛-1)2𝑛2,所以S=lim𝑛→∞∑i=0n-1𝑛+𝑖𝑛3·1𝑛=1+32+1+14=154.典例透析题型一题型二反思曲边梯形面积的求解方法如下:(1)思想:以直代曲;(2)步骤:化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近;(3)关键:以直代曲;(4)结果:分割越细,面积越精确.典例透析题型一题型二【变式训练1】求由直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2+2x所围成的图形的面积S.解:(1)分割在[0,1]上等间隔地插入(n-1)个点,将它等分为n个小区间:0,1𝑛,1𝑛,2𝑛,2𝑛,3𝑛,…,𝑛-1𝑛,1,记第i个区间为𝑖-1𝑛,𝑖𝑛(i=1,2,…,n),其长度为Δx=𝑖𝑛−𝑖-1𝑛=1𝑛.分别过上述(n-1)个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图),它们的面积记作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,则小曲边梯形面积的和为S=∑𝑖=1𝑛ΔSi.典例透析题型一题型二(2)近似代替记f(x)=x2+2x,当n很大,即Δx很小时,在区间i-1n,in上,可以认为f(x)的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨用𝑓in来近似地作为f(x)在该区间上的函数值.从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边,这样在区间i-1n,in上,用小矩形的面积ΔS'i近似地代替ΔSi,则ΔSi≈ΔS'i=𝑓in·Δx=1nin2+2·in(i=1,2,…,n).典例透析题型一题型二(3)求和小曲边梯形的面积和Sn=∑i=1nΔSi≈∑𝑖=1𝑛ΔS'i=∑i=1n1nin2+2·in=1n12n2+22n2+…+n2n2+21n+2n+…+nn=(n+1)(2n+1)6n2+n+1n=161+1n2+1n+1+1n.(4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20,…等份时,Sn越来越趋向于S,从而有S=𝑙𝑖𝑚n→∞𝑆𝑛=lim𝑛→∞161+1n2+1n+1+1n=43.故由直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2+2x所围成的图形的面积等于43.典例透析题型一题型二求变速直线运动的路程【例2】一辆汽车做变速直线运动,设汽车在时刻t的速度v(t)=6𝑡2,求汽车在t=1到t=2这段时间内运动的路程s.分析:分割→近似代替→求和→取极限→得到结果解:(1)分割把区间[1,2]等分成n个小区间𝑛+𝑖-1𝑛,𝑛+𝑖𝑛(i=1,2,…,n),每个区间的长度Δt=1𝑛,每个时间段行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n).故路程和sn=∑𝑖=1𝑛Δsi.典例透析题型一题型二(2)近似代替取ξi=n+in(i=1,2,…,n).则Δsi≈𝑣n+in·Δt=6·nn+i2·1n=6n(n+i)2≈6n(n+i+1)(n+i)(i=1,2,3,…,n).(3)求和(4)取极限s=lim𝑛→∞𝑠𝑛=lim𝑛→∞6𝑛1𝑛+1-12𝑛+1=3.所以这段时间内运动的路程s=3.sn=∑i=1n6𝑛(𝑛+𝑖+1)(𝑛+𝑖)=6𝑛1𝑛+1−1𝑛+2+1𝑛+2−1𝑛+3+⋯+12𝑛−12𝑛+1=6𝑛1𝑛+1-12𝑛+1.典例透析题型一题型二【变式训练2】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)=12𝑡2(单位:km/h),试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km).个小区间:0,2𝑛,2𝑛,4𝑛,…,2(𝑛-1)𝑛,2𝑛𝑛,记第i个小区间为2(𝑖-1)𝑛,2𝑖𝑛(i=1,2,…,n),其长度为Δt=2𝑛,则汽车在时间段0,2𝑛,2𝑛,4𝑛,…,2(𝑛-1)𝑛,2𝑛𝑛上行驶的路程分别记作Δs1,Δs2,Δs3,…,Δsn,有sn=∑𝑖=1𝑛Δsi.(2)近似代替:取ξi=2in(i=1,2,…,n).则Δsi≈𝑣2in·Δt=12·2in2·Δt=12·4i2n2·2n=4n3·i2(i=1,2,…,n).解:(1)分割:在区间[0,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间分成n典例透析题型一题型二(3)求和:sn=∑i=1nΔsi=∑𝑖=1𝑛4n3·i2=4n3(12+22+32+…+n2)=4n3·n(n+1)(2n+1)6=231+1n2+1n.(4)取极限:s=𝑙𝑖𝑚n→∞𝑠𝑛=43.故这辆汽车在这段时间内行驶的路程为43km.典例透析