中考综合题：菱形60度角的应用

菱形60度角的应用在初中数学四边形学习内容里，一般会学到四边形、平行四边形、梯形、矩形、菱在中考数学中，菱形会与其他知识内容相结合，紧密联系在一起，形成更为复杂的综合问题。因此，在平时数学学习过程中，一定要把菱形相关知识内容认真掌握，吃透每一个知识点，这样即使遇到更为复杂的问题，我们都不用怕。形、正方形等相关知识内容。今天我们一起来讲讲中考数学是如何去考查菱形。1.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．图①图②图③图④第22题图（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23，BE=219，求四边形ADPE的面积．解：（1）如图①中，结论：PB=EC，CE⊥AD．理由：连接AC．第22题解图①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．故答案为PB=EC，CE⊥AD．（2）结论仍然成立．图②图③第22题解图理由：选图②，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．如图③，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．(3)如解图④，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，第22题解图④由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP，在菱形ABCD中AD∥BC，∴EC⊥BC，∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝（219）2－（23）2＝8，∴BP＝CE＝8，∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6，AO＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2，∴OP＝OD＋DP＝5，在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，S四边形ADPE＝S△ADP＋S正△APE＝12DP·AO＋34·AP2＝12×2×3＋34×(27)2＝83.2.在图①，②，③中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°.(1)如图①，当点E与点B重合时，∠CEF＝________°；(2)如图②，连接AF.①填空：∠FAD________∠EAB(填“＞”，“＜”，“＝”)；②求证：点F在∠ABC的平分线上；(3)如图③，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．第22题图2.解：(1)60；(2)①＝；②证明：如解图①，当BE＞AB时，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB交BA的延长线于点M.在四边形FMBN中，∠FMB＝∠FNB＝90°，∠B＝120°，第22题解图①∴∠MFN＝60°.又∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴AF平分∠EAG，AE＝EF.∴∠FAE＝60°，△AEF是等边三角形．∴∠AFE＝60°.∴∠MFN－∠AFN＝∠AFE－∠AFN.即∠MFA＝∠NFE.在△FMA和△FNE中，∠FMA＝∠FNE，∠MFA＝∠NFE，FA＝FE，∴△FMA≌△FNE(AAS)．∴FM＝FN.∴点F在∠ABC的平分线上；如解图②，当BE＝AB时，第22题解图②∵∠ABC＝120°，∴∠EAB＝∠AEB＝30°.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝60°，AE＝EF.∴△AEF为等边三角形，∠FAB＝∠FEB＝90°.∴AF＝EF.∴点F在∠ABC的平分线上；当BE＜AB时，类似地，可证点F在∠ABC的平分线上．特别地当点E与点B重合时，点F在∠ABC的平分线上．综上所述，点F在∠ABC的平分线上；(3)如解图④，∵四边形AEGH和四边形AEFG都是平行四边形，∴AE∥HG，AE∥GF.∴HG和GF重合．第22题解图④又∵GE是菱形AEFG的对角线，∠EAG＝120°，∴GE平分∠DGA，∠DGA＝60°，∴∠FGE＝12∠FGA＝30°.又∵GE∥HB，∴∠H＝∠FGE＝30°.在△ADH中，∵∠DAB＝60°，∴∠ADH＝30°.∴AH＝AD.在△GAD中，∵∠ADG＝30°，∠DGA＝60°，∴∠DAG＝90°，∠H＝∠GAH＝30°.∴GD＝2AG，HG＝AG.∴HDAE＝3.∵四边形AEFG是菱形，∴AG＝AE，AE∥HD.∴∠H＝∠EAB＝30°.∴∠AEB＝30°.∴AB＝EB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠B＝∠DAH.∴△AHD∽△BAE，∴ADBE＝HDAE＝3.即BCAB＝3，3如图，菱形的边长为1，，点是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．（1）求证：；（2）求的最小值；ABCD60ABCEABCEBDCEFGAEEFMNAFEFMNNG（3）当点在上运动时，的大小是否变化？为什么？解：（1）连接，垂直平分，，四边形为菱形，和关于对角线对称，，；（2）连接，和分别是和的中点，点为中点，，，即，当点与菱形对角线交点重合时，最小，即此时最小，菱形边长为1，，为等边三角形，，即的最小值为；EABCEFCFFGCECFEFABCDACBDCFAFAFEFACMNAEEFGCE12MNAF12NGCF1()2MNNGAFCFFABCDOAFCFMNNGABCD60ABCABC1ACABMNNG12（3）不变，理由是：延长，交于，，，，点在菱形对角线上，根据菱形的对称性可得：，，，，，，，，为定值．EFDCHCFHFCEFECAFHFAEFEAAFCFCEFECFAEFEAFABCDBD12AFDCFDAFCAFCFEFAEFEAFFECFCEAFDFAEABFFAECEFABFCEF60ABC30ABFCEF