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-1-1.3.3函数的最大(小)值与导数目标导航1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).知识梳理1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.名师点拨1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数的图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值,例如函数f(x)=1𝑥在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数f(x)=|𝑥|,-1≤𝑥≤1,𝑥≠0,2,𝑥=0在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.知识梳理【做一做1】设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:①若f(x)在区间[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;②若f(x)在区间[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;③若f(x)在区间[a,b]上有最值,则最值必在x=a或x=b处取得.其中真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.答案:A知识梳理2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.名师点拨如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数f(x)的最值恰好在两个端点处取得.当f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.知识梳理【做一做2】函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别为.解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+0-f(x)8↗极大值12↘10所以当x=-1时,函数f(x)取最小值f(-1)=8;当x=0时,函数f(x)取最大值f(0)=12.答案:12,8重难聚焦1.如何理解函数的极值和最值?剖析(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质:如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值;最值反映的是函数在整个定义域内的性质:如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在定义域内的所有函数值.(2)函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有.(3)函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.(4)在区间I上,若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且函数f(x)在区间I上只有一个极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.重难聚焦2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的最值情况如何?剖析在区间(a,b)内,当函数f(x)的图象是一条连续的曲线时,f(x)在(a,b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况:如图,图①中的函数y=f(x)在区间(a,b)内有最大值而无最小值;图②中的函数y=f(x)在区间(a,b)内有最小值而无最大值;图③中的函数y=f(x)在区间(a,b)内既无最大值也无最小值;图④中的函数y=f(x)在区间(a,b)内既有最大值也有最小值.重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四求函数的最值【例1】求下列函数的最值:(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3];(2)f(x)=12𝑥+sinx,x∈[0,2π].分析:求f'(x)→令f'(x)=0得到相应的x的值→划分区间→列表→观察在相应区间内的单调性→确定极值点→求极值与端点值并比较大小→确定最值典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)f'(x)=6x2-12=6(x+2)(x−2).令f'(x)=0,解得x=−2或x=2.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,2)2(2,3)3f'(x)-0+f(x)10↘-82↗18所以当x=2时,f(x)取得最小值-82;当x=3时,f(x)取得最大值18.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)f'(x)=12+cosx,令f'(x)=0,又x∈[0,2π],解得x=2π3或x=4π3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x00,2𝜋32𝜋32𝜋3,4𝜋34𝜋34𝜋3,2𝜋2πf'(x)+0-0+f(x)0↗𝜋3+32↘2𝜋3−32↗π所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导;(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;(3)在比较极值与端点函数值的大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求函数f(x)=𝑎2𝑥+𝑏21-𝑥(x∈(0,1),a0,b0)的最值.解:f'(x)=−𝑎2𝑥2+𝑏2(1-𝑥)2=𝑏2𝑥2-𝑎2(1-𝑥)2𝑥2(1-𝑥)2.令f'(x)=0,即b2x2-a2(1-x)2=0,因为x∈(0,1),所以解得x=𝑎𝑎+𝑏.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0,aa+baa+baa+b,1f'(x)-0+f(x)↘(a+b)2↗由上表可知当x=𝑎𝑎+𝑏时,f(x)有最小值𝑓𝑎𝑎+𝑏=(a+b)2;在(0,1)内,函数f(x)无最大值.典例透析题型一题型二题型三题型四由函数的最值求参数的值【例2】如果f(x)=ax3-6ax2+b,那么是否存在实数a,b,使f(x)在区间[-1,2]上取最大值3、最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.分析:解答本题可先求f'(x),再确定f(x)在区间[-1,2]上的单调性及最值,最后建立方程组求出a,b的值.解:存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax.令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).当a0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)+0-f(x)b-7a↗极大值b↘b-16a典例透析题型一题型二题型三题型四所以当x=0时,f(x)取极大值,f(0)=b.又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,且a0,所以f(0)f(-1)f(2),所以当x=0时,f(x)取最大值,即b=3;当x=2时,f(x)取最小值,即f(2)=3-16a=-29,所以a=2.当a0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)-0+f(x)b-7a↘极小值b↗b-16a典例透析题型一题型二题型三题型四所以当x=0时,f(x)取极小值,f(0)=b.又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,且a0,所以f(2)f(-1)f(0).所以当x=0时,f(x)取最小值,即b=-29;当x=2时,f(x)取最大值,即-16a-29=3,所以a=-2.综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.反思1.用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似,当给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意极值点是否在区间内.2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导数的方法求解.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.解:由题意知f(1)=-3-c.所以b-c=-3-c,即b=-3.对f(x)求导,得f'(x)=4ax3lnx+ax4·1𝑥+4bx3=x3(4alnx+a+4b).由题意知f'(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12.所以f'(x)=48x3lnx(x0).令f'(x)=0,解得x=1.当0x1时,f'(x)0,此时f(x)为减函数;当x1时,f'(x)0,此时f(x)为增函数.所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,并且此极小值也是最小值.典例透析题型一题型二题型三题型四所以要使f(x)≥-2c2(x0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.整理得2c2-c-3≥0,解得c≥32或c≤-1.故c的取值范围为(-∞,-1]∪32,+∞.典例透析题型一题型二题型三题型四与函数最值有关的综合题【例3】已知函数f(x)=𝑥,g(x)=alnx,a∈R.(1)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,令其最小值为φ(a),求φ(a)的解析式;(2)结合(1)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.分析:(1)利用导数求h(x)的最小值,注意对参数a进行分类讨论;(2)转化为求φ(a)的最大值即可.典例透析题型一题型二题型三题型四(1)解:由条件知h(x)=𝑥−𝑎lnx(x0),所以h'(x)=12𝑥−𝑎𝑥=𝑥-2𝑎2𝑥.①当a0时,令h'(x)=0,解得x=4a2,所以当0x4a2时,h'(x)0,h(x)在区间(0,4a2)内递减;当x4a2时,h'(x)0,h(x)在区间(4a2,+∞)内递增.所以x=4a2是h(x)在区间(0,+∞)内的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.所以最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a).②当a≤0时,h'(x)=𝑥-2𝑎2𝑥0,h(x)在区间(0,+∞)内递增,无最小值.故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1-ln2a)(a0).典例透析题型一题型二题型三题型四(2)证明:由(1)知φ(a)=2a(1-ln2a),则φ'(a)=-2ln2a.令φ'(a)=0,解得a=12.当0a12时,φ'(a)0,所以φ(a)在区间0,12内递增;当a12时,φ'(a)0,所以φ(a)在区间12,+∞内递减.所以φ(a)在a=12处取得极大值𝜑12=1.因为φ(a)在区间(0,+∞)内有且只有一个极值点,所以𝜑12=1是φ(a)的最大值.所以当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1.反思在本例第(2)小题中,将证明不等式成立问题转化为研究一个函数的最大值问题,可以使问题变得容易.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】设f(x)=−13𝑥3+12𝑥2+2ax.(1)若f(x)在区间23,+∞内存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a2时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为−163,求f(x)在该区间上的最大值.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)f'(x)=-x2+x+2a.若f(x)在区间23,+∞内存在单调递增区间,则f'(x)=-x2+x+2a0在区间23,+∞内有解.由f'(x)0,得a12(x2-x).令G(x)=12(x2-x),则G(x)=12(x2-x)=12𝑥-122−18,易知G(x)在区间23,+∞内恒有G(x)−19.所以a−19.所以当a−19时,f(