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-1-1.3.2函数的极值与导数目标导航1.结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).知识梳理1.极值点与极值(1)极小值点与极小值.如下图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值.如上图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.知识梳理【做一做1-1】下列说法不正确的是()A.函数y=x2有极小值B.函数y=sinx有无数个极值C.函数y=2x没有极值D.x=0是函数y=x3的极值点解析:由四个函数的图象容易判断D项不正确.答案:D【做一做1-2】已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图,则()A.函数f(x)有1个极大值点、1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点、2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点、1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点、3个极小值点答案:A知识梳理2.判断函数y=f(x)极值的方法解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值.归纳总结一般地,如果函数y=f(x)在某点处可导,那么“函数y=f(x)在这一点处的导数为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的必要不充分条件.知识梳理【做一做2-1】函数f(x)=xex的极值点为()A.0B.1C.-1D.不存在解析:f'(x)=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=0,得x=-1,故函数f(x)的极值点为-1.答案:C【做一做2-2】函数y=2-x2-x3的极值情况是()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值也有极小值解析:y'=-2x-3x2,令y'=0,得x1=−23,x2=0.当x−23时,y'0;当−23𝑥0时,y'0;当x0时,y'0.故当x=−23时,函数有极小值;当x=0时,函数有极大值.故选D.答案:D重难聚焦1.如何正确理解极值?剖析极大值与极小值统称为极值.函数取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.关于极值需注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不一定存在,若存在也不一定是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.重难聚焦(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.如图所示.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.重难聚焦(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.例如:函数f(x)=x3在x=0处的导数为0,但在x=0处没有极值.(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间内单调的函数没有极值.(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,极大值点、极小值点是交替出现的.重难聚焦2.如何求f(x)的极值?剖析归纳总结极值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点.极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.典例透析题型一题型二题型三求函数的极值【例1】求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=ln𝑥𝑥;(3)f(x)=5𝑥𝑥2+1;(4)f(x)=cosx+12𝑥(x∈(0,π)).分析:求f(x)的定义域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→结论典例透析题型一题型二题型三解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f'(x)=0,得x=-2或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗16↘-16↗从表中可以看出,当x=-2时,函数f(x)有极大值,且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16.当x=2时,函数f(x)有极小值,且f(2)=23-12×2=-16.典例透析题型一题型二题型三(2)函数f(x)=ln𝑥𝑥的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.令f'(x)=0,解得x=e.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗1𝑒↘故当x=e时函数f(x)取得极大值,且极大值为f€=1e,函数f(x)无极小值.典例透析题型一题型二题型三(3)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=5𝑥𝑥2+1′=-5(𝑥+1)(𝑥-1)(𝑥2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘所以函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=−52,在x=1处取得极大值f(1)=52.典例透析题型一题型二题型三(4)f'(x)=12−sinx,令f'(x)=0,得x=π6或x=5π6.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0,𝜋6𝜋6𝜋6,5𝜋65𝜋65𝜋6,𝜋f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)在x=π6处取得极大值𝑓π6=32+π12,在x=5π6处取得极小值𝑓5π6=−32+5π12.典例透析题型一题型二题型三反思利用导数研究函数的极值时,一般应首先确定函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点,这些点将整个定义域分为若干个区间,然后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,考查导数为零的点的左、右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值,否则不是极值,这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-3x;(2)f(x)=𝑥2e𝑥.解:(1)f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=-2.典例透析题型一题型二题型三(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=𝑥2e𝑥′=𝑥(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x(2-x)e-x=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值0↗极大值4e-2↘因此,当x=0时,f(x)有极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,极大值为f(2)=4e-2=4e2.典例透析题型一题型二题型三已知极值求参数的值【例2】已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取极值0,求常数a,b的值.分析:求f'(x)→建立关于a,b的方程组→求解a,b→将a,b代入原函数验证极值情况→根的取舍解:因为f(x)在x=-1时有极值0,且f'(x)=3x2+6ax+b,所以𝑓'(-1)=0,𝑓(-1)=0,即3-6𝑎+𝑏=0,-1+3𝑎-𝑏+𝑎2=0,解得𝑎=1,𝑏=3或𝑎=2,𝑏=9.当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数;典例透析题型一题型二题型三当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数.所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.反思当已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)在点x=0处取得极值,并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性.(1)求实数b的值;(2)求实数a的取值范围.分析:由函数f(x)在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性,可以确定另一个极值点一定落在2到4之间.解:(1)因为f'(x)=3x2+2ax+b,f(x)在点x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即b=0.(2)令f'(x)=0,即3x2+2ax=0,解得x=0或x=−23𝑎.又因为函数f(x)在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性,所以2≤−23𝑎≤4,解得-6≤a≤-3.故实数a的取值范围为[-6,-3].典例透析题型一题型二题型三极值的综合运用【例3】求函数f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的极值,并讨论当a为何值时函数f(x)恰有一个零点.分析:求出函数f(x)的单调区间和极值,画出f(x)的大致图象,借助函数图象判定函数零点的个数.解:f'(x)=3x2-6x,函数f(x)的定义域为R,令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗因此,函数f(x)在x=0处有极大值,极大值为f(0)=-a;在x=2处有极小值,极小值为f(2)=-4-a.典例透析题型一题型二题型三函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数为直线y=a与曲线y=x3-3x2的交点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极小值为-4(如图所示).故当a0或a-4时,函数f(x)恰有一个零点.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值−43.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实根,求实数k的取值范围.解:(1)由题意可知f'(x)=3ax2-b,则𝑓'(2)=12𝑎-𝑏=0,𝑓(2)=8𝑎-2𝑏+4=-43,解得𝑎=13,𝑏=4.经检验a=13,b=4符合题意.故函数f(x)的解析式为f(x)=13𝑥3-4x+4.典例透析题型一题型二题型三(2)由(1)知f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x=2或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)