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-1-1.3.1函数的单调性与导数目标导航1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识梳理1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.名师点拨用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系:当导数大于0时,切线的斜率为正,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈向上增加状态;当导数小于0时,切线的斜率为负,切线的倾斜角大于90°且小于180°,函数曲线呈向下减少状态.【做一做1-1】若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间内单调递减.解析:令f'(x)=x(x-2)0,解得0x2,所以f(x)在区间(0,2)内单调递减.答案:(0,2)知识梳理【做一做1-2】下列区间中,函数f(x)=1+ln𝑥𝑥在其上是单调递增的是()A.(0,1)B.(0,e)C.(1,e)D.1e,e解析:因为f'(x)=(1+ln𝑥)'·𝑥-(1+ln𝑥)·𝑥'𝑥2=-ln𝑥𝑥2,且当x∈(0,1)时,f'(x)0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,故选A.答案:A知识梳理2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.知识梳理名师点拨通过函数的图象,不仅可以看出函数的单调性,还可以看出函数变化的快慢.“函数变化的快慢与其导数的关系”如下:知识梳理【做一做2】若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()解析:因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以从左到右函数f(x)图象上的点处的切线斜率是递增的.答案:A重难聚焦1.如何理解函数的单调性与导数的关系?剖析(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的定义域,再在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间.(3)若函数在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函数.如f(x)=3,则f'(x)=3'=0.(4)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数在研究曲线变化规律中的一个应用,它充分体现了数形结合思想.名师点拨对于可导函数f(x)来说,“f'(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件,“f'(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的充分不必要条件.例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)0.重难聚焦2.利用导数求函数单调区间的步骤及注意的问题是什么?剖析(1)利用导数求函数单调区间的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式f'(x)0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)0得到函数的递减区间.(2)注意的问题:①在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,否则容易导致错误.②当一个函数的递增区间(或递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.重难聚焦3.已知函数的单调性,如何求参数的取值范围?剖析“f'(x)0(或f'(x)0)”是“函数单调递增(或单调递减)”的充分条件,但这个条件并不是必要的.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)的充要条件是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f'(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f'(x0)=0,只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)单调递增(或单调递减)的条件下求参数的取值范围时,应令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解),然后检验参数的取值能否使f'(x)在所给区间的任何一个子区间内不恒为零,从而求得参数的取值范围.重难聚焦4.利用导数证明不等式的一般形式和步骤是什么?剖析(1)常见形式:已知x∈(a,b),求证:u(x)v(x).(2)证明步骤:①将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)0;②当x∈(a,b)时,判断f'(x)的符号;③若f'(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若f'(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.例如:求证:当x0时,exx+1.证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1.因为x0,所以f'(x)0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以f(x)f(0)=0,故exx+1.典例透析题型一题型二题型三利用导数信息判别函数图象【例1】已知函数y=f(x)与其导数f'(x)满足如下条件:①当x-1或x13时,f'(x)0;②当-1x13时,f'(x)0;③当x=-1或x=13时,f'(x)=0;④f(x)有唯一的一个负零点.试画出函数y=f(x)的大致图象.分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函数y=f(x)的大致图象.典例透析题型一题型二题型三解:由①②③可知函数y=f(x)在区间(-∞,-1)和13,+∞内单调递增,在区间-1,13内单调递减.由f(x)有唯一的一个负零点,可知f(x)=0有唯一的一个负实根.综上可知,函数f(x)图象的大致形状如图所示.反思在研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)在区间(-3,1)内单调递增B.f(x)在区间(1,3)内单调递减C.f(x)在区间(2,4)内单调递减D.f(x)在区间(3,+∞)内单调递增解析:由f(x)的增减性与f'(x)的正负之间的关系进行判断,当x∈(2,4)时,f'(x)0,故f(x)在区间(2,4)内单调递减,其他判断均错,故选C.答案:C典例透析题型一题型二题型三求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=3x2-2lnx;(3)f(x)=ex+kx(k∈R).分析:解答本题需先确定函数的定义域,再对函数求导,求解不等式f'(x)0,f'(x)0,并与定义域求交集得到相应的单调区间.典例透析题型一题型二题型三解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-1=(3𝑥+1)(3𝑥−1).令f'(x)0,得x33或x−33;令f'(x)0,得−33𝑥33.因此函数f(x)的单调递增区间为-∞,-33和33,+∞,单调递减区间为-33,33.典例透析题型一题型二题型三(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=6x−2𝑥=2·3𝑥2-1𝑥.令f'(x)0,即2·3𝑥2-1𝑥0,又x0,解得x33;令f'(x)0,即2·3𝑥2-1𝑥0,又x0,解得0x33.故函数f(x)的单调递增区间为33,+∞,单调递减区间为0,33.典例透析题型一题型二题型三(3)f'(x)=ex+k.当k≥0时,f'(x)0,函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)无递减区间;当k0时,由f'(x)=ex+k0,解得xln(-k);由f'(x)=ex+k0,解得xln(-k),即函数f(x)在(ln(-k),+∞)内单调递增,在(-∞,ln(-k))内单调递减.综上,当k≥0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,+∞),无递减区间;当k0时,函数f(x)的递增区间是(ln(-k),+∞),递减区间是(-∞,ln(-k)).反思1.当f(x)不含参数时,可通过解不等式f'(x)0(或f'(x)0)直接得到函数f(x)的单调递增(或递减)区间.2.当函数解析式中含有参数时,应注意对参数进行分类讨论求得函数的单调区间.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】求函数f(x)=−13𝑎𝑥3+x2+1(a≤0)的单调区间.解:f'(x)=-ax2+2x.①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).②当a0时,令f'(x)0,得(-ax+2)x0,即𝑥-2𝑎𝑥0,得x0或x2𝑎;令f'(x)0,得(-ax+2)x0,即𝑥-2𝑎𝑥0,得2𝑎𝑥0.故f(x)的单调递增区间为-∞,2𝑎和(0,+∞),单调递减区间为2𝑎,0.综上所述,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0);典例透析题型一题型二题型三当a0时,函数f(x)的单调递增区间为-∞,2𝑎和(0,+∞),单调递减区间为2𝑎,0.典例透析题型一题型二题型三【例3】已知函数f(x)=lnx,g(x)=12𝑎𝑥2+2x,a≠0.已知函数的单调性求参数的取值范围(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.分析:解答本题首先确定h(x)的定义域为(0,+∞).(1)h(x)存在单调递减区间,则h'(x)0在区间(0,+∞)内有解.(2)h(x)在区间[1,4]上单调递减,即h'(x)≤0在区间[1,4]上恒成立.典例透析题型一题型二题型三解:(1)h(x)=lnx−12𝑎𝑥2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=1𝑥−𝑎𝑥−2.因为h(x)在区间(0,+∞)内存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,1𝑥−𝑎𝑥−20有解,即a1𝑥2−2𝑥有解.设G(x)=1𝑥2−2𝑥,所以只要aG(x)min即可.而G(x)=1𝑥-12−1,所以G(x)min=-1,所以a-1.典例透析题型一题型二题型三(2)因为h(x)在区间[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=1𝑥−𝑎𝑥−2≤0恒成立,即a≥1𝑥2−2𝑥恒成立,所以a≥G(x)max.而G(x)=1𝑥-12−1,因为x∈[1,4],所以1𝑥∈14,1,所以G(x)max=−716(此时x=4),所以a≥−716.当a=−716时,h'(x)=1𝑥+716𝑥−2=16+7𝑥2-32𝑥16𝑥=(7𝑥-4)(𝑥-4)16𝑥.因为x∈[1,4],所以h'(x)=(7𝑥-4)(𝑥-4)16𝑥≤0,且仅在x=4处有h'(x)=0,即h(x)在区间[1,4]上为减函数.故实数a的取值范围是a≥−716.典例透析题型一题型二题型三反思求解这类问题时,先由函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(递减)推出f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立,再利用分离参数或函数的性质求解恒成立问题,对等号成立可单独验证说明.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上