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-1-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)目标导航1.能利用导数的四则运算法则求导数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识梳理1.导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x),则两个函数的和的导数[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)两个函数的差的导数[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)两个函数的积的导数[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)两个函数的商的导数f(x)g(x)′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0)名师点拨1.两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).2.注意两个函数的积与商的求导公式中,符号的异同,积的导数中是“+”号,而商的导数中分子上是“-”号.知识梳理【做一做1-1】函数y=x3cosx的导数是()A.3x2cosx+x3sinxB.3x2cosx-x3sinxC.3x2cosxD.-x3sinx解析:y'=(x3cosx)'=3x2cosx+x3(-sinx)=3x2cosx-x3sinx,故选B.答案:B【做一做1-2】若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析:∵f'(x)=4ax3+2bx为奇函数,∴f'(-1)=-f'(1)=-2.答案:B知识梳理2.复合函数复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【做一做2】求下列函数的导数:(1)y=ln(-x);(2)y=e3x.解:(1)函数y=ln(-x)可以看作函数y=lnu和u=-x的复合函数,根据复合函数的求导法则有y'x=y'u·u'x=(lnu)'·(-x)'=1𝑢·(-1)=1𝑥.(2)函数y=e3x可以看作函数y=eu和u=3x的复合函数,根据复合函数的求导法则有y'x=y'u·u'x=(eu)'·(3x)'=eu·3=3e3x.重难聚焦1.如何认识积和商的导数运算法则?剖析(1)牢记公式的形式,并注意[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x),𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)′≠𝑓'(𝑥)𝑔'(𝑥),避免与[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)混淆.(2)若c为常数,则[cf(x)]'=cf'(x).(3)类比[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)记忆𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)′=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2.重难聚焦2.如何利用复合函数的求导法则求复合函数的导数?剖析求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行:(1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系y=f(u),u=g(x);(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量求导,即先求y'u,再求u'x;(3)计算y'u·u'x,并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.整个过程可简记为分解—求导—回代.熟练以后,可以省略中间过程.典例透析题型一题型二题型三题型四导数公式及法则的应用【例1】求下列函数的导数:(1)y=x-sin𝑥2cos𝑥2;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=𝑥+3𝑥2+3;(4)y=xsinx−2cos𝑥;(5)y=𝑥5+𝑥7+𝑥9𝑥;(6)y=x·tanx.分析:所给函数解析式较复杂时,不能直接套用导数公式和法则,可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再求导.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)∵y=x-sin𝑥2cos𝑥2=𝑥−12sinx,∴y'=𝑥-12sin𝑥′=x'−12(sinx)'=1−12cosx.(2)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.(3)y'=(𝑥+3)'(𝑥2+3)-(𝑥+3)(𝑥2+3)'(𝑥2+3)2=-𝑥2-6𝑥+3(𝑥2+3)2.(4)y'=(xsinx)'−2cos𝑥′=sinx+xcosx−2sin𝑥cos2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四(5)∵y=𝑥5+𝑥7+𝑥9𝑥=𝑥2+x3+x4,∴y'=(x2+x3+x4)'=2x+3x2+4x3.(6)y'=(x·tanx)'=𝑥sin𝑥cos𝑥′=(𝑥sin𝑥)'cos𝑥-𝑥sin𝑥(cos𝑥)'cos2𝑥=(sin𝑥+𝑥cos𝑥)cos𝑥+𝑥sin2𝑥cos2𝑥=sin𝑥cos𝑥+𝑥cos2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四反思应用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则解决函数的求导问题时注意以下几点:典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求下列函数的导数:(1)y=cosx+12𝑥;(2)y=sin𝑥44+cos𝑥44;(3)y=cos2𝑥sin𝑥+cos𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)y'=cos𝑥+12𝑥′=-sinx+12𝑥ln12=-sinx−12𝑥ln2.(2)∵y=sin2𝑥4+cos2𝑥42−2sin2𝑥4cos2𝑥4=1−12sin2𝑥2=1−12·1-cos𝑥2=34+14cosx,∴y'=34+14cos𝑥′=−14sinx.(3)∵y=cos2𝑥sin𝑥+cos𝑥=cos2𝑥-sin2𝑥sin𝑥+cos𝑥=cosx-sinx,∴y'=(cosx-sinx)'=-sinx-cosx.典例透析题型一题型二题型三题型四复合函数求导【例2】求下列函数的导数:(1)y=11-2𝑥;(2)y=eax+b;(3)y=sin2𝑥+π3;(4)y=5log2(2x+1).分析:解答本题可先分析复合函数的复合层次,再利用复合函数的求导法则求解.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)设y=𝑢-12,u=1-2x,则y'x=(𝑢-12)'(1-2x)'=-12𝑢-32·(-2)=𝑢-32=(1-2𝑥)-32.(2)设y=eu,u=ax+b,则y'x=y'u·u'x=eu·a=a·eax+b.(3)设y=sinu,u=2x+π3,则y'x=y'u·u'x=cosu·2=2cos2𝑥+π3.(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x=5(log2u)'(2x+1)'=10𝑢ln2=10(2𝑥+1)ln2.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求复合函数的导数需处理好以下环节:(1)中间变量的选择应是基本函数的结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量换成原自变量的函数.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求下列函数的导数:(1)y=ln(2x-7);(2)y=x2sin2x.解:(1)设y=lnu,u=2x-7,则y'x=y'u·u'x=(lnu)'·(2x-7)'=2𝑢=22𝑥-7.(2)令y1=sin2x.设y1=sinu,u=2x,则y'1=(sinu)'·u'=2cosu=2cos2x.故y'=(x2)'sin2x+x2(sin2x)'=2xsin2x+2x2cos2x.典例透析题型一题型二题型三题型四求曲线的切线方程【例3】求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程.分析:解答本题可先设出切点坐标,对函数求导,写出切线方程,再利用切点在曲线上,切线过点(1,-1)代入求解.解:设P(x0,y0)为切点,则切线斜率为k=y′|𝑥=𝑥0=3𝑥02−2,故切线方程为y-y0=(3𝑥02−2)(x-x0).①∵点(x0,y0)在曲线y=x3-2x上,∴y0=𝑥03−2x0.②又点(1,-1)在切线上,∴将②式和点(1,-1)代入①式,得-1-(𝑥03−2x0)=(3𝑥02−2)(1-x0),解得x0=1或x0=−12.典例透析题型一题型二题型三题型四∴k=3×12-2=1或k=3×-122−2=−54.∴切线的斜率为1或−54,故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=−54(x-1),即x-y-2=0或5x+4y-1=0.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:3.经过曲线上某点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要漏解.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标.解:(1)因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处的切线斜率为k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为y'=3x2-10,所以3𝑥02−10=2,解得x0=±2.因为点P在第二象限内,所以x0=-2.因为点P在曲线C上,所以y0=(-2)3-10×(-2)+3=15,故点P的坐标为(-2,15).典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:对复合函数认识不清而致错【例4】已知y=(1+cos2x)',则y'=.错解-cos2x错因分析对复合函数求导计算不熟练,忽视了2x与x的系数不一样,没有明确它是一个复合的过程,导致错解.正解:-4cos2xy=(1+cos2x)'=1'+(cos2x)'=(cos2x)'=-2sin2x.y'=(-2sin2x)'=-2(sin2x)'=-4cos2x.典例透析