搜索
-1-本讲整合知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题一平面直角坐标系中的伸缩变换函数y=f(ωx)(x∈R)(其中ω0,且ω≠1)的图象,可以看作把f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的1𝜔(纵坐标不变)而得到的.函数𝑦=𝐴𝑓(𝑥)(𝑥∈R)(其中A0,且A≠1)的图象,可以看作把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式𝑥'=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦'=𝜇𝑦(𝜇0),在使用时,需分清变换前后的坐标.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三应用说出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变换规律,并求出满足其图形变换的伸缩变换.提示:主要考查变换公式𝑥'=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦'=𝜇𝑦(𝜇0).解:曲线y=tanx的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,得到曲线y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线y=3tan2x.设满足条件的伸缩变换为𝑥'=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦'=𝜇𝑦(𝜇0),则μy=3tan2λx,即y=3𝜇tan2λx.与y=tanx比较,则有μ=3,λ=12.所以所求的伸缩变换为𝑥'=12𝑥,𝑦'=3𝑦.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题二极坐标系及其应用在极坐标系中,点M(ρ,θ)的极坐标统一表示为(ρ,2kπ+θ),k∈Z.如果规定ρ0,0≤θ2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示,同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三应用求点𝑀4,π3到直线𝜌cos𝜃-π3=2上的点的距离的最小值.提示:可以先化为直角坐标再求解.解:点M的直角坐标为(2,23),∵ρcos𝜃-π3=2,∴𝜌cos𝜃cosπ3+sin𝜃sinπ3=2.∴12𝜌cos𝜃+32𝜌sinθ=2.∴12𝑥+32𝑦=2,即x+3𝑦−4=0.∴d=|2+23×3-4|3+1=2.故点M到直线ρcos𝜃-π3=2上的点的距离的最小值为2.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题三求轨迹的极坐标方程求轨迹方程的方法——直接法、定义法、相关点代入法等,在极坐标系中仍然适用.注意求谁设谁,找出所设点的坐标ρ,θ之间的关系.应用1已知P为曲线ρ2-12ρcosθ+35=0上的任意一点,O为极点,求线段OP的中点M的轨迹的极坐标方程.提示:本题可以用相关点代入法,用点M的坐标把点P的坐标表示出来,然后代入到曲线方程中即可求解.解:设点M的坐标为(ρ,θ),则点P的坐标是(2ρ,θ).因为点P在曲线ρ2-12ρcosθ+35=0上,所以4ρ2-24ρcosθ+35=0.故线段OP的中点M的轨迹的极坐标方程为4ρ2-24ρcosθ+35=0.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三应用2已知A,B两点间的距离为12,动点M满足|MA|·|MB|=36,建立适当的极坐标系,求点M的轨迹的极坐标方程.解:如图,以AB的中点O为极点,以OB所在射线为极轴建立极坐标系,连接OM.设M(ρ,θ),则|OA|=|OB|=6.所以|MB|=𝜌2+62-2×6𝜌cos𝜃=𝜌2+36-12𝜌cos𝜃,|MA|=𝜌2+62-2×6𝜌cos(π-𝜃)=𝜌2+36+12𝜌cos𝜃.由|MA|·|MB|=36,得(ρ2+36)2-144ρ2cos2θ=362,即ρ4+72ρ2-144ρ2cos2θ=0.当点M与极点重合时,满足题意,所以方程可简化为ρ2=72(2cos2θ-1)=72cos2θ.故点M轨迹的极坐标方程为ρ2=72cos2θ.真题放送综合应用知识建构1234567解析:依次取θ=0,π2,π,3π2,结合题图可知只有ρ=6-5sinθ满足,选D.答案:D1(2016·上海高考,理16)下列极坐标方程中,右图对应的曲线为()A.ρ=6+5cosθB.ρ=6+5sinθC.ρ=6-5cosθD.ρ=6-5sinθ真题放送综合应用知识建构12345672(2018·北京高考,理10)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=.解析:由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.由直线与圆相切,可知|1+0-𝑎|1+1=1,即|1-a|=2,解得a=1±2.∵a0,∴a=2+1.答案:2+1真题放送综合应用知识建构12345673(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.解析:设圆心为C,则圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.答案:1真题放送综合应用知识建构12345674(2017·天津高考,理11)在极坐标系中,直线4ρcosθ−π6+1=0与圆𝜌=2sin𝜃的公共点的个数为_____________________.解析:∵4ρcos𝜃-π6+1=0,展开得23𝜌cosθ+2ρsinθ+1=0,∴直线的直角坐标方程为23𝑥+2𝑦+1=0.∵ρ=2sinθ两边同乘ρ得ρ2=2ρsinθ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=|23×0+2×1+1|(23)2+22=34𝑟=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.答案:2真题放送综合应用知识建构12345675(2016·北京高考,理11)在极坐标系中,直线ρcosθ−3𝜌sin𝜃−1=0与圆𝜌=2cos𝜃交于𝐴,𝐵两点,则|𝐴𝐵|=.解析:直线ρcosθ−3𝜌sinθ-1=0化为直角坐标方程为x−3𝑦−1=0,圆ρ=2cosθ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线x−3𝑦−1=0上,故|AB|=2.答案:2真题放送综合应用知识建构12345676(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,真题放送综合应用知识建构1234567所以|-𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=−43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=−43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|𝑘+2|𝑘2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=−43|𝑥|+2.真题放送综合应用知识建构12345677(2017·全国Ⅱ高考,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,π3,点𝐵在曲线𝐶2上,求△OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ10).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos𝜃.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).真题放送综合应用知识建构1234567(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=12|𝑂𝐴|·ρB·sin∠AOB=4cosα·sin𝛼-π3=2sin2𝛼-π3-32≤2+3.当α=−π12时,S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.真题放送综合应用知识建构