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-1-四柱坐标系与球坐标系简介ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法.2.与在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别与联系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.柱坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为点Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ2π,-∞z+∞.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝑧=𝑧.【做一做1】若点P的直角坐标为(1,1,3),则它的柱坐标是.答案:2,π4,3ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.球坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ2π.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】已知点M的球坐标为4,π4,3π4,则它的直角坐标是,它的柱坐标是.答案:(-2,2,22)22,3π4,22ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ.在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航在柱坐标M(ρ,θ,z)中,结合上图知,ρ=|OA|=|𝑂𝑃|2+|𝑂𝑄|2=𝑥2+𝑦2,𝜃=∠POA,其中x,y,z的值与直角坐标中的相同.在球坐标M(r,φ,θ)中,结合上图知,r=|OM|=|𝑂𝐴|2+|𝐴𝑀|2=𝑥2+𝑦2+𝑧2,𝜑=∠ROM,θ=∠POA,其中θ与柱坐标中的θ相同,x,y,z的值与直角坐标中的相同.几种三维坐标互不相同,互有联系,互相能够转化,都用来刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.建立空间坐标系的技巧剖析我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系,我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,从而建立空间直角坐标系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五直角坐标与柱坐标的互化【例1】设点M的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标.分析:把空间直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,𝑧=𝑧求出ρ,θ即可.解:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则有1=𝜌cos𝜃,1=𝜌sin𝜃,𝑧=1,解之,得ρ=2,tanθ=1.因为点M的直角坐标为(1,1,1),所以θ=π4.因此,点M的柱坐标为2,π4,1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思由直角坐标求柱坐标,可以先设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变换公式,利用ρ2=x2+y2求ρ,利用tanθ=求θ,在求θ时,要特别注意点M所在的位置,从而确定θ的取值.𝑦𝑥ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】已知点M的柱坐标为4,π3,4,求它的直角坐标.解:设点M的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,𝑥=4cosπ3=4×12=2,𝑦=4sinπ3=4×32=23,𝑧=4.因此点M的直角坐标为(2,23,4).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五直角坐标与球坐标的互化【例2】已知点M的球坐标为2,3π4,3π4,求它的直角坐标.分析:利用变换公式𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑求解.解:设点M的直角坐标为(x,y,z),则有𝑥=2sin3π4cos3π4=2×22×-22=-1,𝑦=2sin3π4sin3π4=2×22×22=1,𝑧=2cos3π4=2×-22=-2.所以点M的直角坐标为(-1,1,−2).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五反思当直角坐标与球坐标进行互化时,若点M的球坐标为(r,φ,θ),直角坐标为(x,y,z),利用变换公式可直接求出直角坐标;利用r2=x2+y2+z2,tanθ需要特别注意的是在求φ和θ时,要先弄清楚点M所在的位置.=𝑦𝑥,cos𝜑=𝑧𝑟来求球坐标ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】若点M的直角坐标为(-1,-1,2),则它的球坐标为()A.2,π4,π4B.2,π4,5π4C.2,5π4,π4D.2,3π4,π4解析:由题意知x=-1,y=-1,z=2.设点M的球坐标为(r,φ,θ),由坐标变换公式得r=𝑥2+𝑦2+𝑧2=2,cos𝜑=𝑧𝑟=22,所以φ=π4.又tanθ=𝑦𝑥=-1-1=1,结合点M的位置可得θ=5π4.故点M的球坐标为2,π4,5π4.故选B.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五求空间一点的坐标【例3】一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区、二区……十六区.我们设圆形体育馆第一排与体育馆中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,并把A的柱坐标写出来.解:以圆形体育馆中心O为极点,以O为原点,且以O为端点且过正东入口的射线Ox为x轴正半轴(极轴),建立柱坐标系,则A与体育馆中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转17π16,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此点A的柱坐标为203,17π16,2.8.反思求空间中一点的柱坐标,与求平面极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测某航天器,将数据汇总,就可计算出该航天器在某一时刻的位置.已知某航天器离地球表面2384km,地球的半径为6371km,它所处的位置是东经80°,北纬75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器P的球坐标.解:在赤道平面上,选取地球球心O为极点,以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为x轴正半轴(极轴),建立球坐标系.由航天器位于东经80°,可知θ=80°=4π9.由航天器位于北纬75°,可知φ=90°-75°=15°=π12.由航天器离地球表面2384km,地球半径为6371km,可知r=2384+6371=8755(km),所以航天器P的球坐标为8755,π12,4π9.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五柱坐标系、球坐标系的应用【例4】已知点P1的球坐标是23,π3,π4,点𝑃2的柱坐标是6,π6,1,求|𝑃1𝑃2|.分析:可把两点坐标均化为直角坐标,再用空间两点间的距离公式求解.解:设点P1的直角坐标为(x1,y1,z1),则𝑥1=23sinπ3cosπ4=322,𝑦1=23sinπ3sinπ4=322,𝑧1=23cosπ3=3,所以点P1的直角坐标为322,322,3.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五设点P2的直角坐标为(x2,y2,z2),则𝑥2=6cosπ6=322,𝑦2=6sinπ6=62,𝑧2=1,所以点P