搜索
-1-本讲整合知识建构综合应用真题放送知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题一不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,进行数值或代数式大小的比较,常用到分类讨论的思想.应用若a,b是任意实数,且ab,则()A.a2b2B.𝑎𝑏1C.lg(a-b)0D.12𝑎12𝑏提示：为提高解题速度,特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解析：ab并不保证a,b均为正数,从而不能保证选项A,B成立.又ab⇒a-b0,但不能保证a-b1,从而不能保证选项C成立.显然只有选项D成立,由y=12𝑥是减函数,且ab,知12𝑎12𝑏.答案：D知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题二基本不等式与三个正数的算术-几何平均不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:如果a,b0,那么𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏,当且仅当𝑎=𝑏时,等号成立.定理3:如果a,b,c∈R+,那么𝑎+𝑏+𝑐3≥𝑎𝑏𝑐3,当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时,等号成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五算术-几何平均不等式:(1)如果a1,a2,…,an∈R+,n1,且n∈N+,那么𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛叫做这𝑛个正数的算术平均,𝑎1𝑎2…𝑎𝑛𝑛叫做这𝑛个正数的几何平均;(2)推广到一般情形:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛≥𝑎1𝑎2…𝑎𝑛𝑛,当且仅当𝑎1=𝑎2=⋯=𝑎𝑛时,等号成立.语言表述:n个正数的算术平均不小于它们的几何平均.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五(3)𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏的几何解释:如图,以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过点C作弦DD'⊥AB交AB于点C,则CD2=CA·CB=ab,从而CD=𝑎𝑏,则半径𝑎+𝑏2≥CD=𝑎𝑏.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用已知x,y0,设Q(x,y)=𝑥2+𝑦22,𝐴(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦2,𝐺(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦,𝐻(𝑥,𝑦)=21𝑥+1𝑦,求证:𝑄(𝑥,𝑦)≥A(x,y)≥G(x,y)≥H(x,y).证明：因为𝑥+𝑦22=𝑥2+𝑦2+2𝑥𝑦4≤𝑥2+𝑦2+𝑥2+𝑦24=𝑥2+𝑦22,所以𝑥2+𝑦22≥𝑥+𝑦2,即Q(x,y)≥A(x,y).由基本不等式,得A(x,y)≥G(x,y).H(x,y)=2𝑥𝑦𝑥+𝑦≤2𝑥𝑦2𝑥𝑦=𝑥𝑦=𝐺(𝑥,𝑦),即G(x,y)≥H(x,y).综上所述,Q(x,y)≥A(x,y)≥G(x,y)≥H(x,y).知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题三利用基本不等式或三个正数的算术-几何平均不等式求最大(小)值重要的结论:已知x,y都是正实数,则(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2𝑃;(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14𝑆2.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1求函数y=2x2+3𝑥(𝑥0)的最小值.下列解法是否正确?为什么?解法一：∵y=2x2+3𝑥=2𝑥2+1𝑥+2𝑥≥32𝑥2·1𝑥·2𝑥3=343,∴ymin=343.解法二：y=2x2+3𝑥≥22𝑥2·3𝑥=26𝑥,当且仅当2𝑥2=3𝑥,即𝑥=1232时,ymin=26·1232=23123=23246.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:题目中两种解法均有错误.解法一错在等号不成立,即不存在x,使得2x2=1𝑥=2𝑥;解法二错在26𝑥不是定值(常数).正确的解法是y=2x2+3𝑥=2𝑥2+32𝑥+32𝑥≥32𝑥2·32𝑥·32𝑥3=3923=32363,当且仅当2x2=32𝑥,即x=632时,ymin=32363.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ1),画面的上、下各留8cm的空白,左、右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?提示：在应用平均不等式解决这类实际问题时,应注意:①设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;③在定义域内,求函数的最大值或最小值.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:设画面的宽为xcm,则画面的高为4840𝑥cm,设纸张面积为Scm2,则S=(x+10)4840𝑥+16=5000+16𝑥+3025𝑥≥5000+16×2𝑥·3025𝑥=6760,当且仅当x=3025𝑥,即x=55时,S取得最小值.此时高484055=88,𝜆=5588=581.故当画面的高为88cm,宽为55cm时,才能使所用纸张面积最小.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题四含有绝对值的不等式的证明证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:(1)|a|+|b|≥|a+b|;(2)|a|-|b|≤|a+b|;(3)|a|·|b|=|a·b|;(4)|𝑎||𝑏|=𝑎𝑏(𝑏≠0).知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用已知|x-a|𝑐2,|𝑦−𝑏|𝑐2.求证:|(x+y)-(a+b)|c.提示：性质|a|·|b|=|a·b|和|𝑎||𝑏|=𝑎𝑏(𝑏≠0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出.因此,只要能够证明|a|+|b|≥|a+b|对于任意实数都成立即可.含有绝对值的不等式的证明中,常常利用|a|≥a,|a|≥-a及绝对值的和的性质.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五证明：|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.①∵|x-a|𝑐2,|𝑦−𝑏|𝑐2,∴|x-a|+|y-b|𝑐2+𝑐2=𝑐.②由①②,得|(x+y)-(a+b)|c.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五专题五含有绝对值的不等式的解法关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式.1.解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值符号,化成一般的不等式.主要的依据是绝对值的定义.在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值,即|x|=𝑥,𝑥0,0,𝑥=0,-𝑥,𝑥0.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五2.含有绝对值的不等式有两种基本的类型.第一种类型:设a为正数.根据绝对值的定义,不等式|x|a的解集是{x|-axa},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(-a,a),如图所示.如果给定的不等式符合上述形式,那么可以直接利用它的结果来解.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五第二种类型:设a为正数.根据绝对值的定义,不等式|x|a的解集是{x|xa或x-a}.它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(-∞,-a),(a,+∞)的并集.如图所示.同样,如果给定的不等式符合这种类型,那么可以直接利用它的结果来解.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用1设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)a.(1)当a=1时,解此不等式;(2)当a为何值时,此不等式的解集是R.解(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)1,⇔|x+3|+|x-7|10,⇔x7或x-3.所以原不等式的解集为{x|x-3或x7}.(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x-7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.故lg(|x+3|+|x-7|)≥1.要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集为R,只要a1.⇔𝑥≥7,2𝑥-410或-3𝑥7,1010或𝑥≤-3,4-2𝑥10知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五应用2设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)由于f(x)=-2𝑥+5,𝑥2,2𝑥-3,𝑥≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象(图略)可知,当且仅当a≥12或a-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪12,+∞.知识建构综合应用真题放送12345671(2018天津,理13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18𝑏的最小值为__________________________.解析:因为2a0,18𝑏0,所以2a+18𝑏=2𝑎+2−3𝑏≥22𝑎·2-3𝑏=22𝑎-3𝑏,当且仅当a=-3b时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18𝑏≥22-6=14,即2a+18𝑏的最小值为14.答案:14知识建构综合应用真题放送12345672(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费与总存储费用之和为4x+600𝑥×6=4𝑥+900𝑥≥4×2900=240,当且仅当x=900𝑥,即x=30时等号成立.答案:30知识建构综合应用真题放送12345673(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,𝑥≤-1,2𝑥,-1𝑥1,2,𝑥≥1.故不等式f(x)1的解集为𝑥𝑥12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a0,|ax-1|1的解集为0x2𝑎,所以2𝑎≥1,故0a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].知识建构综合应用真题放送12345674(2018全国2,理23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=2𝑥+4,𝑥≤-1,2,-1𝑥≤2,-2𝑥+6,𝑥2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).知识建构综合应用真题放送12345675(2018全国3,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.知识建构