搜索
-1-2.绝对值不等式的解法目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.掌握绝对值不等式的几种解法,并能解决绝对值不等式求解问题.2.了解绝对值不等式的几何解法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1231.含有绝对值的不等式的解法(同解性)(1)|x|a⇔-𝑎𝑥𝑎,𝑎0,无解,𝑎≤0.(2)|x|a⇔𝑥𝑎或𝑥-𝑎,𝑎0,𝑥≠0,𝑎=0,𝑥∈R,𝑎0.名师点拨对于不等式|x|a(a0),由绝对值的几何定义知,它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合.如图:目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做1】若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则M∩N=()A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}解析：∵M={x|-2≤x≤2},N={0,3},∴M∩N={0}.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1232.|ax+b|≤c(c0),|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法(1)|ax+b|≤c(c0)型不等式的解法是:先化为不等式组-c≤ax+b≤c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.(2)|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法是:先化为ax+b≥c或ax+b≤-c,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做2】若条件p:|x+1|≤4,条件q:x25x-6,则¬p是¬q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由p:|x+1|≤4,得-4≤x+1≤4,即-5≤x≤3,又q:2x3,∴¬p为x3或x-5,¬q为x≥3或x≤2.∴¬p⇒¬q,而¬q¬p.∴¬p是¬q的充分不必要条件.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1233.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法:解法一是利用绝对值不等式的几何意义.解法二是利用分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的符号,进而去掉绝对值符号.解法三是通过构造函数,利用函数的图象得到不等式的解集.名师点拨|x-a|+|x-b|≥c或|x-a|+|x-b|≤c型不等式的三种解法可简述为(1)几何意义法;(2)根分区间法;(3)构造函数法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做3】不等式|x-1|+|x-2|2的解集是.解析：当x≤1时,1-x+2-x2,即2x1,则12𝑥≤1;当1x2时,x-1+2-x2恒成立,即1x2;当x≥2时,x-1+x-22,即2x5,∴2≤x52.综上可知,12𝑥52.答案：12,52知识梳理重难聚焦典例透析目标导航几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)若|x-4|-|x-3|a有解,则a的取值范围是;(2)若|x-4|-|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是;(3)若|x-4|+|x-3|a的解集为⌀,则a的取值范围是;(4)若|x-4|+|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是.处理以上问题,我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的最值或值域联系起来,第一个函数的值域为[-1,1],而第二个函数的最小值为1,即|x-4|+|x-3|≥1,所以|x-4|-|x-3|a有解,只需a1;|x-4|-|x-3|a的解集是R,则说明是恒成立问题,所以a[|x-4|-|x-3|]min=-1,即a-1;|x-4|+|x-3|a的解集为⌀,说明a≤[|x-4|+|x-3|]min=1,所以a≤1;|x-4|+|x-3|a的解集为R,说明a[|x-4|+|x-3|]min=1.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的最值或值域相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,通过数形结合来求得a的取值范围.理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一解|ax+b|≥c(c0)和|ax+b|≤c(c0)型的不等式【例1】不等式|3x-2|4的解集是()A.{x|x2}B.𝑥𝑥-23C.𝑥𝑥-23或𝑥2D.𝑥-23𝑥2解析：可以利用|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法进行等价转化,或者利用数形结合法.方法一:由|3x-2|4,得3x-2-4或3x-24,即x−23或x2.所以原不等式的解集为𝑥𝑥-23或𝑥2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四方法二:(数形结合法)画出函数y=|3x-2|=3𝑥-2,𝑥≥23,2-3𝑥,𝑥23的图象,如图所示.由|3x-2|=4,解得x=2或x=−23.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四在同一坐标系中画出直线y=4,得交点坐标为(2,4)与-23,4.所以|3x-2|4时,x−23或x2.所以原不等式的解集为𝑥𝑥-23或𝑥2.答案：C知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】解不等式3≤|x-2|4.解法一:原不等式等价于|𝑥-2|≥3,|𝑥-2|4.①②由①得x-2≤-3或x-2≥3,∴x≤-1或x≥5.由②得-4x-24,∴-2x6.∴原不等式的解集为{x|-2x≤-1或5≤x6}.解法二:3≤|x-2|4⇔3≤x-24或-4x-2≤-3⇔5≤x6或-2x≤-1.故原不等式的解集为{x|-2x≤-1或5≤x6}.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【例2】不等式|5x-x2|6的解集为()A.{x|x2或x3}B.{x|-1x2或3x6}C.{x|-1x6}D.{x|2x3}解析：可以利用|x|a(a0)的结论进行转化,然后解一元二次不等式,取交集可得结果,本题还可以用数形结合法求结果.方法一:∵|5x-x2|6,∴|x2-5x|6.∴-6x2-5x6.∴𝑥2-5𝑥+60,𝑥2-5𝑥-60⇒(𝑥-2)(𝑥-3)0,(𝑥-6)(𝑥+1)0⇒𝑥2或𝑥3,-1𝑥6.∴-1x2或3x6.∴原不等式的解集为{x|-1x2或3x6}.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.|x2-5x|6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合.解方程x2-5x=6,得x1=-1,x2=6.解方程x2-5x=-6,得x1'=2,x2'=3.故原不等式的解集是{x|-1x2或3x6}.答案：B知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思形如|f(x)|a,|f(x)|a(a∈R)型不等式的简单解法:(1)当a0时,|f(x)|a⇒-af(x)a.|f(x)|a⇔f(x)a或f(x)-a.(2)当a=0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔|f(x)|≠0.(3)当a0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)有意义.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】解不等式||x-1|-4|2.解:||x-1|-4|2⇔-2|x-1|-42⇔2|x-1|6⇔|𝑥-1|2,|𝑥-1|6⇔𝑥-1-2或𝑥-12,-6𝑥-16⇔𝑥-1或𝑥3,-5𝑥7⇔-5x-1或3x7.故不等式||x-1|-4|2的解集为{x|-5x-1或3x7}.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二解|f(x)|g(x)型的不等式【例3】解不等式|x-x2-2|x2-3x-4.分析：解题时首先考虑x2-x+2的符号,直接去掉绝对值号求解即可.解:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,且x2-x+2=𝑥-122+740,∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4.∴x-3.∴原不等式的解集为{x|x-3}.反思形如|f(x)|g(x),我们可以借助形如|ax+b|c的解法转化为f(x)-g(x)或f(x)g(x),当然|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x).如果f(x)的正负能确定的话,也可以先去掉绝对值号再解不等式.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】解不等式𝑥2-122𝑥.解:①若2x0,即x0.∵𝑥2-12≥0对任意的x∈R恒成立,∴𝑥2-122𝑥(𝑥0)恒成立,∴x0是原不等式的解.②若2x=0,即x=0.∵𝑥2-12=02-12=122𝑥=2×0=0,∴x=0是原不等式的解.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四③若2x0,即x0.𝑥2-122𝑥⇔x2−122𝑥或x2−12−2𝑥.由x2−122𝑥,得x2-62或x2+62;由x2−12−2𝑥,得-2-62𝑥-2+62.结合x0,知x2+62或0x-2+62是原不等式的解.综上所述,原不等式的解集是{x|x0}∪{x|x=0}∪𝑥𝑥2+62∪𝑥0𝑥-2+62,即𝑥𝑥1+62或𝑥𝑥-1+62.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三解|x+a|+|x+b|≥c(c0)型的不等式【例4】解不等式|x+1|+|x-1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解,对于形如y=|x+a|+|x+b|的函数,可以认为是分段函数.解法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,则A,B两点间的距离为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在点A左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,点A1对应数轴上的x1,则-1-x1+1-x1=3,得x1=−32.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3,点B1对应数轴上的x2,则x2-1+x2-(-1)=3,得x2=32.从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到点A,B的距离之和都小于3;点A1的左侧或点B1的右侧的任意点到点A,B的距离之和都大于3,所以原不等式的解集是-∞,-32∪32,+∞.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解法二：当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤−32.当-1x1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3,解得x≥32.综上可知,原不等式的解集为-∞,-32∪32,+∞.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即y=-2𝑥-3,𝑥≤-1,-1,-1𝑥1,2𝑥-3,𝑥≥1.作出函数的图象(如图).函数的零点是−32,32.从图象可知,当x≤−32或x≥32时,y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为-∞,-32∪32,+∞.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即|x|=𝑥,𝑥≥0,-𝑥,𝑥0,也即当x为非负数时,|x|为x;当x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题