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-1-二绝对值不等式-2-1.绝对值三角不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.理解绝对值的几何意义.2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义.3.掌握三个实数的绝对值不等式及其应用.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1231.绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.(2)对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123归纳总结1.|a|=𝑎,当𝑎0时,0,当𝑎=0时,-𝑎,当𝑎0时.2.对任意实数a,都有|a|=𝑎2.3.实数积和商的绝对值运算法则:|ab|=|a|·|b|,𝑎𝑏=|𝑎||𝑏|(𝑏≠0).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1232.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a,b换成向量a,b,当向量a,b不共线时,由向量加法的三角形法则,向量a+b,a,b构成三角形,因此有向量形式的不等式|a+b||a|+|b|,它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做】若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是()A.|x-y|2hB.|x-y|2kC.|x-y|h+kD.|x-y||h-k|解析：|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|h+k.答案：C目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1233.三个实数的绝对值不等式定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形式:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab0,ab0,ab=0三种情况来确定的,其本质是叙述在两个实数符号的各种情形下得到的结果,即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零各种不同情况讨论,往往在所难免,因此,对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,当向量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有|a+b||a|+|b|.当向量a,b共线时,若a,b同向(相当于ab≥0)时,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异向(相当于ab0)时,则|a+b||a|+|b|,这些都是利用了三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆定理,并应用定理解题.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”还要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于||a|-|b||的.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型一绝对值三角不等式的性质【例1】设a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.分析：解决本题的关键是灵活运用绝对值三角不等式的性质.因为a,b的符号不确定,所以需要分ab≥0和ab0进行讨论.解:|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16.①当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;②当ab0时,则a(-b)0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16.总之,恒有|a|+|b|≤16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值为16.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件为ab≥0,应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a-c的变形要记住:a-c=(a-b)+(b-c),从而不等式|a+b|≤|a|+|b|可以变形为|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)·(b-c)≥0时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】若|a-c|b,则下列不等式不成立的是()A.|a||b|+|c|B.|c||a|+|b|C.b||c|-|a||D.b|a|-|c|解析：∵|a-c|b,∴b0.∴b=|b|.∵|a|-|c|≤|a-c|,∴|a|-|c|b,则|a|b+|c|=|b|+|c|.故A成立.同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|b,∴|c||a|+b=|a|+|b|.故B成立.而由A成立,得|c|-|a|-|b|,由B成立,得|c|-|a||b|,∴-|b||c|-|a||b|,即||c|-|a|||b|=b.故C成立.由A成立知D不成立.故选D.答案：D知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型二用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:𝑎𝑥+𝑏𝑥22.分析：解决本题的关键是对题设条件的理解和运用.|a|,|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥|a|,m≥|b|,m≥1.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证明：∵|x|m≥|a|,|x|m≥|b|,|x|m≥1,∴|x|2|b|.∴𝑎𝑥+𝑏𝑥2≤𝑎𝑥+𝑏𝑥2=|𝑎||𝑥|+|𝑏||𝑥|2|𝑥||𝑥|+|𝑥|2|𝑥|2=2.∴𝑎𝑥+𝑏𝑥22.故原不等式成立.反思分析题目时,题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,那么准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也就成了解题的关键,如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|,|m|≥|b|,m≥1”是证明本题的关键.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】证明：不等式:|𝑎+𝑏|1+|𝑎+𝑏|≤|𝑎|1+|𝑎|+|𝑏|1+|𝑏|.证明：当a+b=0时,不等式显然成立.当a+b≠0时,∵|a+b|≤|a|+|b|,∴1|𝑎+𝑏|≥1|𝑎|+|𝑏|.于是|𝑎+𝑏|1+|𝑎+𝑏|=11+1|𝑎+𝑏|≤11+1|𝑎|+|𝑏|=|𝑎|+|𝑏|1+|𝑎|+|𝑏|=|𝑎|1+|𝑎|+|𝑏|+|𝑏|1+|𝑎|+|𝑏|≤|𝑎|1+|𝑎|+|𝑏|1+|𝑏|,∴|𝑎+𝑏|1+|𝑎+𝑏|≤|𝑎|1+|𝑎|+|𝑏|1+|𝑏|.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型三绝对值三角不等式的综合应用【例3】已知函数f(x)=lg𝑥2-𝑥+1𝑥2+1.(1)判断f(x)在区间[-1,1]上的单调性,并给出证明;(2)若t∈R,求证:lg710≤𝑓𝑡-16-𝑡+16≤lg1310.分析：(1)借助定义判别函数f(x)的单调性;(2)利用绝对值三角不等式解决.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三(1)解:f(x)在区间[-1,1]上是减函数.证明:令g(x)=𝑥2-𝑥+1𝑥2+1=1−𝑥𝑥2+1.取-1≤x1x2≤1,则g(x1)-g(x2)=(𝑥2-𝑥1)(1-𝑥1𝑥2)(𝑥12+1)(𝑥22+1).∵|x1|≤1,|x2|≤1,x1x2,∴g(x1)-g(x2)0,即g(x1)g(x2).又在区间[-1,1]上g(x)0,∴lgg(x1)lgg(x2),得f(x1)f(x2).∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三(2)证明：∵𝑡-16−𝑡+16≤𝑡-16-𝑡+16=13,𝑡+16−𝑡-16≤𝑡+16-𝑡-16=13,∴−13≤𝑡-16−𝑡+16≤13.由(1)的结论,有𝑓13≤𝑓𝑡-16-𝑡+16≤𝑓-13.∵𝑓13=lg710,𝑓-13=lg1310,∴lg710≤𝑓𝑡-16-𝑡+16≤lg1310.反思此类题目综合性强,不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件,这也是关键.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).证明:|f(x)-f(a)|=|(x-a)·(x+a-1)||x+a-1|≤|x|+|a|+1.∵|x|-|a|≤|x-a|1,∴|x||a|+1.∴|x|+|a|+12(|a|+1).∴|f(x)-f(a)|2(|a|+1).知识梳理重难聚焦典例透析目标导航