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-1-3.三个正数的算术-几何平均不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.三个正数的算术-几何平均不等式如果a,b,c∈R+,那么𝑎+𝑏+𝑐3≥𝑎𝑏𝑐3,当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时,等号成立.【做一做1】若x0,则4x+9𝑥2的最小值是()A.9B.3363C.13D.不存在解析：∵x0,∴4x+9x2=2𝑥+2𝑥+9x2≥3363,当且仅当2x=9𝑥2,即x=12363时,等号成立.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.n个正数a1,a2,…,an的算术-几何平均不等式对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛≥a1a2…an𝑛,当且仅当𝑎1=𝑎2=⋯=𝑎𝑛时,等号成立.归纳总结从不等式的式子结构入手,拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】已知a,b,c0,则𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑐≥.解析：𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑐=3+𝑏𝑐𝑎2+𝑎𝑐𝑏2+𝑎𝑏𝑐2+𝑎2𝑏𝑐+𝑏2𝑐𝑎+𝑐2𝑎𝑏≥3+6bca2·acb2·abc2·a2bc·b2ca·c2ab6=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.答案：9知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”:不论是三个数或者n个数的算术-几何平均不等式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如a+b+c≥3abc3,取a=b=-2,c=2时,a+b+c=-2,而3𝑎𝑏𝑐3=6,显然-2≥6不成立.“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知乘积a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部分相等.不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术-几何平均不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代数式变形或拼凑,有时一个数拆成两个或两个以上的数,这时候,拆成的数要相等,如y=4𝑥4+𝑥2=4𝑥4+𝑥22+𝑥22,其中把x2拆成𝑥22和𝑥22两个数,这样可满足不等式成立的条件,若变形为y=4𝑥4+𝑥2=4𝑥4+𝑥24+3𝑥24,虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要求就无法实现了,这是因为取等号的条件是4𝑥4=𝑥24=3𝑥24,显然x无解.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一应用三个正数的算术-几何平均不等式求函数的最值【例1】已知0x1,求函数y=x(1-x2)的最大值.分析：为使数的“和”为定值,可以先平方,即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)·12,求出最值后再开方.解:∵y=x(1-x2),∴y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·12.∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,0x1,∴y2≤122𝑥2+1-𝑥2+1-𝑥233=427,当且仅当2x2=1-x2,即x=33时,等号成立.∴y≤239.∴𝑦的最大值为239.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思式子拼凑,以便能利用算术-几何平均不等式求最值,是必须掌握的一种解题方法,但拼凑要合理,且要符合适用的条件,对于本题,有的学生可能这样去拼凑:虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取等号的条件,显然x=2-2x=1+x无解,即无法取等号,也就是说,这种拼凑法是不正确的.这就要求平时多积累一些拼凑方法,同时注意算术-几何平均不等式的使用条件,三个缺一不可.y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=12·x(2-2x)·(1+x)≤12𝑥+2-2𝑥+1+𝑥33=12.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求函数y=316𝑥2+3𝑥(𝑥0)的最小值.解:∵x0,∴y=316𝑥2+3𝑥=316𝑥2+32𝑥+32𝑥≥3316x2·32x·32x3=94,当且仅当316𝑥2=32x,即x=2时,等号成立.故函数y=316𝑥2+3x(𝑥0)的最小值为94.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二应用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式【例2】设a,b,c0,求证:(a+b+c)·1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9.分析：先观察求证式子的结构,再通过变形转化为用算术-几何平均不等式证明.证明：∵a,b,c0,∴a+b+c≥3abc3,1a+1b+1c≥31𝑎𝑏𝑐3.∴(a+b+c)1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9,当且仅当a=b=c时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正、二定、三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知0a1,求证:1𝑎+41-𝑎≥9.证明：1𝑎+41-𝑎=1𝑎+21-𝑎+21-𝑎·𝑎+1-𝑎2+1-𝑎2≥31𝑎·21-𝑎·21-𝑎3·3𝑎·1-𝑎2·1-𝑎23=9,当且仅当1𝑎=21-𝑎,即a=13时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题【例3】如图,在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=𝑘sin𝜃𝑟2,这里𝑘是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度ℎ,才能使桌子边缘处最亮?知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四分析：根据题设条件建立r与θ的关系式将它代入E=𝑘sin𝜃𝑟2得到以θ为自变量,E为因变量的函数关系式用算术-几何平均不等式求函数的最值获得问题的解解:∵r=2cos𝜃,∴𝐸=𝑘·sin𝜃cos2𝜃40𝜃π2.∴E2=𝑘216·sin2θ·cos4θ=𝑘232·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤𝑘232·2sin2𝜃+cos2𝜃+cos2𝜃33=𝑘2108,当且仅当2sin2θ=cos2θ时,等号成立.∴tan2θ=12,tan𝜃=22.∴当h=2tanθ=2时,E最大.∴当灯的高度h为2m时,才能使桌子边缘处最亮.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思处理此类求最值的实际问题,应正确地找到各变量之间的关系,建立适当的函数解析式,把问题转化为求函数的最值问题,并将关系式配凑成可以用算术-几何平均不等式的形式,若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大?解:设母线与底面所成的角为𝜃0𝜃π2,则底面半径为cosθ,高为sinθ.∴圆锥的体积V=π3cos2𝜃sinθ.设μ=cos2θsinθ,则μ2=cos4θsin2θ=12[cos2𝜃cos2𝜃·(2sin2θ)]≤12cos2𝜃+cos2𝜃+2sin2𝜃33=427,∴μ≤239(当且仅当cos2θ=2sin2θ时,等号成立).∴V≤2327π,即V的最大值为2327π,此时cos2θ=2sin2θ,cosθ=63,即底面半径为63时,圆锥的体积最大.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点忽视等号成立的条件致错【例4】求函数y=x2+3𝑥(𝑥0)的最小值.错解：1∵x0,∴y=x2+3𝑥≥2𝑥2·3𝑥=23𝑥,当且仅当x2=3𝑥,即x=33时,y取最小值2×323=293.错解：2∵x0,∴y=x2+1𝑥+2𝑥≥3·𝑥2·1𝑥·2𝑥3=323,𝑦的最小值为323.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四错因分析：错解1中不能保证两正数x2与3𝑥的积为定值,此时23𝑥为变量,不能说当x=33时,y取最小值;错解2中当且仅当x2=1𝑥=2𝑥时,y取最小值,但1𝑥≠2𝑥,所以等号不成立,即y不能取得323.正解：∵x0,∴y=x2+32𝑥+32𝑥≥3𝑥2·32𝑥·32𝑥3=3943=31832,当且仅当x2=32𝑥,即x=323时,等号成立.∴函数的最小值为31832.反思应用基本不等式求最值的易错点是忽视条件“一正、二定、三相等”,尤其易忽视等号成立的条件.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航