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-1-2.基本不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.了解两个正数的几何平均与算术平均.2.会用基本不等式解决一些函数的最值及实际应用问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12341.定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12342.定理2(基本不等式)(1)定理2:如果a,b0,那么𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏,当且仅当𝑎=𝑏时,等号成立.(2)𝑎+𝑏2称为𝑎,𝑏的算术平均,𝑎𝑏称为𝑎,𝑏的几何平均.(3)基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.(4)基本不等式的几何意义.直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.名师点拨基本不等式成立的条件:“一正、二定、三相等”.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1234【做一做1】下列各式中,最小值等于2的是()A.𝑥𝑦+𝑦𝑥B.𝑥2+5𝑥2+4C.tanθ+1tan𝜃D.2𝑥+2−𝑥解析：∵2x0,2-x0,∴2x+2-x≥22𝑥·2-𝑥=2,当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立.答案：D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12343.重要的不等式链设0a≤b,则a≤2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2≤𝑎2+𝑏22≤b.【做一做2】下列结论不正确的是()A.当a0时,a+1𝑎≥2B.𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥(𝑎+𝑏)22解析：选项A,C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,故a2+b2≥(𝑎+𝑏)22成立;而选项B中,𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2不成立,若ab0,则不满足基本不等式成立的条件.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12344.应用基本不等式求函数最值已知x,y都为正数,则(1)若x+y=s(和为定值),则当且仅当x=y时,积xy取得最大值𝑠24;(2)若xy=p(积为定值),则当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2𝑝.归纳总结基本不等式应用中有“积定和最小,和定积最大”的规律.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1234【做一做3-1】设x0,则函数y=3-3x−1𝑥的最大值是.解析：y=3−3𝑥+1𝑥≤3-23,当且仅当3x=1𝑥,即x=33时,等号成立.故ymax=3-23.答案：3-23目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1234【做一做3-2】已知lgx+lgy=2,则1𝑥+1𝑦的最小值为.解析：∵lgx+lgy=2,∴lg(xy)=2.∴xy=102.∴1𝑥+1𝑦=𝑥+𝑦𝑥𝑦≥2𝑥𝑦𝑥𝑦=2100100=15,当且仅当x=y=10时,等号成立.答案：15知识梳理重难聚焦典例透析目标导航认识基本不等式中的数a,b剖析：在利用基本不等式时,要准确定位其中的“数”.例如,在“已知2x+y=1,x,y0,求xy的最大值”中,“两个数”不是“x”与“y”,而是已知条件中的“2x”与“y”,这是因为定值是“2x+y=1”,而“x+y”不是定值,因而要求xy的最大值应视作求12(2𝑥)·y的最大值,即xy=12(2𝑥)·y≤12×2𝑥+𝑦22=18,当且仅当2x=y,即x=14,𝑦=12时,等号成立.在基本不等式中,准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提.再如,在“已知实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3,求ax+by的最大值”时,似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航ax+by≤𝑎2+𝑥22+𝑏2+𝑦22=𝑎2+𝑏2+𝑥2+𝑦22=2.但是这种解法不正确,这四个数分两组使用基本不等式,不符合使用的条件,本题中取等号的条件是𝑎=𝑥,𝑏=𝑦,这与a2+b2=1和x2+y2=3矛盾.因此正确的解法应是三角换元法:令a=cosα,b=sinα,x=3cosβ,y=3sinβ,则ax+by=cosα·3cosβ+sinα·3sin𝛽=3(cosαcosβ+sinαsinβ)=3cos(𝛼−𝛽)≤3,当且仅当cos(α-β)=1时,等号成立.故ax+by的最大值是3.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用基本不等式证明不等式【例1】已知a,b,c0,且a+b+c=1.求证:1𝑎-11𝑏-11𝑐-1≥8.分析：不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,1𝑎−1=1-𝑎𝑎=𝑏+𝑐𝑎≥2𝑏𝑐𝑎,可由此变形入手.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四证明：∵a,b,c0,a+b+c=1,∴1𝑎−1=1-𝑎𝑎=𝑏+𝑐𝑎≥2𝑏𝑐𝑎.同理:1𝑏−1≥2𝑎𝑐𝑏,1𝑐−1≥2𝑎𝑏𝑐.由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1𝑎-11𝑏-11𝑐-1≥2𝑏𝑐𝑎·2𝑎𝑐𝑏·2𝑎𝑏𝑐=8,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.反思用基本不等式证明不等式时,应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,再合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:3𝑎+2+3𝑏+2+3𝑐+26.证明：∵3𝑎+2=(3𝑎+2)·1,∴3𝑎+2≤(3𝑎+2)+12.∵3a+2≠1,∴上式不能取等号.∴3𝑎+2(3𝑎+2)+12.同理有3𝑏+2(3𝑏+2)+12,3𝑐+2(3𝑐+2)+12.∴3𝑎+2+3𝑏+2+3𝑐+23(𝑎+𝑏+𝑐)2+92=6.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二利用基本不等式求函数最值【例2】已知x54,求函数𝑦=4𝑥−2+14𝑥-5的最大值.分析：由x54,可知4x-50,转化为变量大于零,先调整符号,再配凑积为定值.解:∵x54,∴5−4𝑥0.∴y=4x-2+14𝑥-5=−5-4𝑥+15-4𝑥+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4𝑥,即x=1时等号成立.∴当x=1时,y的最大值为1.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:(1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,则需对式子变形,凑出需要的定值;(2)看所用的两项是否同正,若不满足,则通过分类解决,在同负时,可提取(-1)变为同正;(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数的单调性或导数解决.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)若x0,求f(x)=12𝑥+3𝑥的最小值;(2)若x0,求f(x)=12𝑥+3𝑥的最大值.解:(1)x0,由基本不等式,得f(x)=12𝑥+3𝑥≥212𝑥·3𝑥=236=12.当且仅当3x=12𝑥,即x=2时,f(x)取最小值12.(2)∵x0,∴-x0,则f(x)=12𝑥+3𝑥=−-12𝑥-3𝑥=−-12𝑥+(-3𝑥)≤-2-12𝑥·(-3𝑥)=−12,当且仅当12-𝑥=−3𝑥,即x=-2时,f(x)取最大值-12.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三基本不等式的实际应用【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2019年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x(单位:万件)与年促销费t(单位:万元)之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2019年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数.(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四分析：(1)两个基本关系式是解题的关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;(2)表示题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数的解析式.解:(1)由题意可设3-x=𝑘𝑡+1(𝑘≠0),将t=0,x=1代入,得k=2,∴x=3−2𝑡+1.当年生产x万件时,∵年生产成本=年生产费用+固定费用,∴年生产成本为32x+3=323-2𝑡+1+3.由题意,生产x万件化妆品正好销完,则年销售收入为150%323-2𝑡+1+3+12𝑡.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=-𝑡2+98𝑡+352(𝑡+1)(𝑡≥0).(2)y=-𝑡2+98𝑡+352(𝑡+1)=50−𝑡+12+32𝑡+1≤50-2𝑡+12·32𝑡+1=50−216=42,当且仅当𝑡+12=32𝑡+1,即t=7时,等号成立,ymax=42,即当促销费定在7万元时,年利润最大.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步.(1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成借用数学模型解决问题的思路,明确解题方向.(2)建立数学模型:根据(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.(3)讨论不等关系:根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.(4)得出问题结论:根据(3)中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3m,AD=2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积;(3)若AN的长度不小于6m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)设AN=xm(x2),则ND=(x-2)m.∵𝑁𝐷𝐷𝐶=𝐴𝑁𝐴𝑀,∴𝑥-23=𝑥𝐴𝑀,∴𝐴𝑀=3𝑥𝑥-2.∴3𝑥𝑥-2·x32,∴3x2-32x+640,∴(3x-8)(x-8)0,∴2x83或x8.∴AN的长的范围为2,83∪(8,+∞).(2)由(1)知,S矩形AMPN=3𝑥2𝑥-2=3(𝑥-2)2+12(𝑥-2)+12𝑥-2=3(x-2)+12𝑥-2+12≥236+12=24,当且仅当x=4时,等号成立.∴当AN的长度为4m时,矩形AMPN的面积最小,矩形AMPN的最小面积为24m2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(3)由(2)得S矩形AMPN=3(x-2)+12𝑥-2+12(𝑥≥6),令x-2=t(t≥4),则S矩形AMPN=3t+12𝑡+12(𝑡≥4).设f(t)=3t+12𝑡+12(𝑡≥4),则f'(t)=3−12𝑡2,当t≥4时,f'(t)0,∴函数f(t)在[4,+∞)上单调递增.∴f(t)min=f(