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-1-本讲整合知识建构综合应用真题放送数学归纳法数学归纳法的原理数学归纳法的应用整除问题几何问题等式问题证明：不等式贝努利不等式其他不等式知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正确地使用数学归纳法.(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立,但是对于一般的自然数并不成立,我们举几个例子来看看.知识建构综合应用真题放送专题一专题二17世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如22𝑛+1的数,𝑛=0,1,2,3,4时,它的值分别为3,5,17,257,65537.这5个数都是质数.因此费尔玛就猜想:对于任意的自然数𝑛,式子22𝑛+1的值都是质数.但是在18世纪另一位卓越的数学家欧拉指出𝑛=5时,225+1=4294967297=641×6700417.这是个合数,费尔玛的猜想错了.这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳法证明时第二步不可缺少.知识建构综合应用真题放送专题一专题二(2)缺少数学归纳法的第一步.也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木,下面我们看一个这样的例子.知识建构综合应用真题放送专题一专题二例:证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(n∈N+).证明：假设当n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时,[(k+1)+1]2+[(k+1)+2]2=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2).由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数,这就是说当n=k+1时命题也成立.由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数.这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤,实际上,当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数学归纳法时不可缺少第一步.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用用数学归纳法证明,对于n∈N+,11×2+12×3+13×4+⋯+1𝑛(𝑛+1)=𝑛𝑛+1.证明：(1)当n=1时,左边=11×2=12,右边=12,所以等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即11×2+12×3+13×4+⋯+1𝑘(𝑘+1)=𝑘𝑘+1,则当n=k+1时,11×2+12×3+13×4+⋯+1𝑘(𝑘+1)+1(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘𝑘+1+1(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘+1𝑘+2.由(1)(2)可知,对于任意的n∈N+,所证等式都成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.知识建构综合应用真题放送专题一专题二1.分析综合法用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.应用1求证:对任意正整数n,有13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2成立.提示：这是一个等式证明问题,它涉及全体正整数,用数学归纳法证明.用数学归纳法证明恒等式,关键是第二步要用上假设,证明n=k+1时,原等式成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,所以原等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2.则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3=(1+2+…+k)2+(k+1)3=𝑘(𝑘+1)22+(𝑘+1)3=𝑘+122[𝑘2+4(𝑘+1)]=(𝑘+1)(𝑘+2)22=[1+2+⋯+k+(k+1)]2,即当n=k+1时,原等式也成立.综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,原等式都成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二应用2设a,b为正数,n∈N+,求证:𝑎𝑛+𝑏𝑛2≥𝑎+𝑏2𝑛.提示：这是一个不等式证明问题,它涉及全体正整数n,用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时,𝑎+𝑏2≥𝑎+𝑏2,显然成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,即𝑎𝑘+𝑏𝑘2≥𝑎+𝑏2𝑘.则当n=k+1时,要证明不等式成立,即证明𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+12≥𝑎+𝑏2𝑘+1.在𝑎𝑘+𝑏𝑘2≥𝑎+𝑏2𝑘的两边同时乘𝑎+𝑏2,得(𝑎+𝑏)(𝑎𝑘+𝑏𝑘)4≥𝑎+𝑏2𝑘+1.要证明𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+12≥𝑎+𝑏2𝑘+1,只需证明𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+12≥(𝑎+𝑏)(𝑎𝑘+𝑏𝑘)4.而𝑎𝑘+1+𝑏𝑘+12≥(𝑎+𝑏)(𝑎𝑘+𝑏𝑘)4知识建构综合应用真题放送专题一专题二⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0⇔ak+1-abk-bak+bk+1≥0⇔(a-b)(ak-bk)≥0.因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当n=k+1时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式𝑎𝑛+𝑏𝑛2≥𝑎+𝑏2𝑛成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.应用3求证:1+12+13+⋯+12𝑛-1𝑛2(𝑛∈N+).提示：利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论.但要注意从n=k变化到n=k+1时增加了多少项,减少了多少项,一般用f(k+1)-f(k)研究增加或减少的项的多少.知识建构综合应用真题放送专题一专题二证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=12,左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,即1+12+13+⋯+12𝑘-1𝑘2.则当n=k+1时,1+12+13+⋯+12𝑘-1+12k-1+1+…+12k2k-1项k2+2𝑘−1×12k=k+12.故当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,1+12+13+⋯+12n-1n2(𝑛∈N+).知识建构综合应用真题放送专题一专题二3.递推法利用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.应用4设0a1,定义a1=1+a,an+1=1𝑎𝑛+𝑎,求证:对一切正整数𝑛,有1𝑎𝑛11-𝑎.提示：数列类问题用数学归纳法证明时,一般先用递推公式,后用归纳假设.知识建构综合应用真题放送专题一专题二证明：(1)当n=1时,a11,a1=1+a11-𝑎,显然命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,命题成立,即1ak11-𝑎.则当n=k+1时,由递推公式,知ak+1=1𝑎𝑘+𝑎(1−𝑎)+𝑎=1.同时,ak+1=1𝑎𝑘+𝑎1+𝑎=1-𝑎21-𝑎11-𝑎,故当n=k+1时,命题也成立,即1ak+111-𝑎.综合(1)(2)可知,对一切正整数n,有1an11-𝑎.知识建构综合应用真题放送专题一专题二4.拼凑法利用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常用拼凑法.应用5对于任意正整数n,求证:an-bn能被a-b整除(对于多项式A,B,如果存在多项式C,使得A=BC,那么称A能被B整除).提示：用数学归纳法证明问题时,关键在于弄清n由k到k+1时,问题的变化情况,创造条件一定要用上归纳假设.知识建构综合应用真题放送专题一专题二证明：(1)当n=1时,an-bn=a-b能被a-b整除.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,ak-bk能被a-b整除,那么当n=k+1时,ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk).因为(a-b)和ak-bk都能被a-b整除,所以ak(a-b)+b(ak-bk)也能被a-b整除,即当n=k+1时,ak+1-bk+1能被a-b整除.根据(1)(2)可知,对一切正整数n,an-bn都能被a-b整除.知识建构综合应用真题放送专题一专题二5.几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证明n=k+1时命题成立的结论中,分解出n=k时命题成立的部分,再去证明余下的部分.应用6在同一平面内有n条直线,每两条不平行,任意三条不共点,求证:它们将此平面分成𝑛2+𝑛+22个部分(𝑛∈N+).提示：利用数学归纳法证明几何问题,关键是找出由n=k到n=k+1时所增加的项.知识建构综合应用真题放送专题一专题二证明：设f(n)=𝑛2+𝑛+22.(1)当n=1时,一条直线将平面分成两部分,f(1)=2,故命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,k条直线将平面分成𝑘2+𝑘+22个部分.当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线交于k个点,使平面增加(k+1)个部分,即将平面分成𝑘2+𝑘+22+𝑘+1=(𝑘+1)2+(𝑘+1)+22个部分,所以n=k+1时命题成立.由(1)(2)得原命题成立.知识建构综合应用真题放送(2015江苏,23)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.知识建构综合应用真题放送解:(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=𝑛+2+𝑛2+𝑛3,𝑛=6𝑡,𝑛+2+𝑛-12+𝑛-13,𝑛=6𝑡+1,𝑛+2+𝑛2+𝑛-23,𝑛=6𝑡+2,𝑛+2+𝑛-12+𝑛3,𝑛=6𝑡+3,𝑛+2+𝑛2+𝑛-13,𝑛=6𝑡+4,𝑛+2+𝑛-12+𝑛-23,𝑛=6𝑡+5,(𝑡∈N+).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+62+63=13,结论成立;知识建构综合应用真题放送②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+𝑘-12+𝑘-23+3=(k+1)+2+𝑘+12+𝑘+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+𝑘2+𝑘3+1=(k+1)+2+(𝑘+1)-12+(𝑘+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+𝑘-12+𝑘-13+2=(k+1)+2+𝑘+12+(𝑘+1)-23,结论成立;