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-1-3.2独立性检验的基本思想及其初步应用ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解分类变量2×2列联表、随机变量K2的意义.2.通过对典型案例的分析,了解独立性检验的基本思想方法.3.通过对典型案例的分析,了解两个分类变量的独立性检验的应用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.数据的表示方法(1)变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.(2)用图表列出两个分类变量的频数表,称为列联表.(3)与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1】班级与成绩2×2列联表:表示数据m,n,p,q的值应分别为()A.70,73,45,188B.17,73,45,90C.73,17,45,90D.17,73,45,45答案:B优秀不优秀总计甲班103545乙班738p总计mnqZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)独立性检验的基本思想类似于反证法.要判断“两个分类变量有关系”,首先假设结论不成立,即H0:“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量K2应该很小.如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则断言H0不成立,即认为“两个分类变量有关系”;如果观测值k很小,则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12(3)一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2},{y1,y2},其样本频数列联表如下:若要推断的结论为H1:“X和Y有关系”,可以通过频率直观地判断两个条件概率P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是否相等.如果判断它们相等,就意味着X和Y没有关系;否则就认为它们有关系.因此,如果通过直接计算或等高条形图发现相差很大,就判断两个分类变量之间有关系.y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d𝑎𝑎+𝑏和𝑐𝑐+𝑑ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12(4)独立性检验的具体做法:①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α,然后查表确定临界值k0.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828②利用公式K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),计算随机变量K2的观测值k.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12③如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图中可以看出()A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比例约为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生中不喜欢理科的比例约为60%解析:由题图可知,女生中喜欢理科的比例约为20%,男生中喜欢理科的比例约为60%,因此男生比女生喜欢理科的可能性大些,故选C.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-2】在吸烟与患气管炎这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()A.若K2的观测值为k=3.842,则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患气管炎有关系,那么在100个吸烟者中,必有95人患气管炎B.由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为吸烟与患气管炎有关系时,我们说某人吸烟,那么他有90%的可能患有气管炎C.若由独立性检验求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患气管炎有关系,是指有1%的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航独立性检验在实际中的重要作用是什么剖析独立性检验是数理统计的一种方法,是数学中的一种基本理论,是数学体系中对数据关系进行探索的一种基本思想.当然,对数据的统计分析得出的结论只能是在一定程度上对某种关系进行判断,而不是一种确定性的关系,这也是统计思想与确定性思维的差异所在.独立性检验在实际中有着广泛的应用,是对实际生活中数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用.例如,通过吸烟和患肺癌关系的研究可以让我们认识吸烟的危害,及时预防吸烟对人体的危害;通过对水稻产量和施肥量关系的研究可以帮助人们正确施肥,提高水稻的产量,从而增加种植户收入等.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用图形与分类变量间的关系作出分析【例1】为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如下:试画出列联表的等高条形图,分析铅中毒病人与对照组的尿棕色素阳性数有无差别,并判断铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系?分析画出图形,分析图中数据的差异,给出结论.组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:等高条形图如图.其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率.由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显,因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在相关关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思若要推断的论述为H1:“X与Y有关”,则可以用等高条形图来直观地分析两个分类变量X与Y是否相关.其原理是:分析2×2列联表中满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例𝑎𝑎+𝑏,与满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比例𝑐𝑐+𝑑,两个比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查所得的数据.试问:每晚都打鼾与患心脏病有关吗?用图表分析.患心脏病未患心脏病合计每晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计5415791633ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:由列联表中的信息易知打鼾人群中未患心脏病的比例约为0.88,即患有心脏病的比例约为0.12;同理不打鼾人群中未患心脏病的比例约为0.98,即患有心脏病的比例约为0.02.作出等高条形图(如图).从图中可以看出:打鼾样本中患心脏病的比例明显多于不打鼾样本中患心脏病的比例.因此可以认为“打鼾与患心脏病有关”.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二独立性检验的方法【例2】在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.根据所给数据,能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女乘客更容易晕机?分析求出随机变量K2的观测值,分析变量关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:根据题意,列出2×2列联表如下:假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机.由公式可得K2的观测值因此,可以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“在天气恶劣的飞行航程中,男乘客比女乘客更容易晕机”.晕机不晕机总计男乘客243155女乘客82634总计325789k=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=89×(24×26-31×8)255×34×32×57≈3.6892.706,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思解独立性检验问题的基本步骤:(1)认真读题,根据相关数据,得出2×2列联表;(2)根据2×2列联表中的数据,计算K2的观测值k;(3)比较观测值k与临界值k0;(4)给出结论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了189名员工进行调查,所得数据如下表所示:对于人力资源部的研究项目,根据上述数据能得出什么结论?积极支持企业改革不太赞成企业改革总计工作积极544094工作一般326395总计86103189ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四李明和张宇都对该题进行了独立性检验的分析,李明的结论是“在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系”;张宇的结论是“在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系”.他们两个的结论正确吗?为什么他们的结论不一样?ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:由列联表中的数据求得K2的观测值为∵10.7597.8796.635,∴若以k0=7.879为临界值,则在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系;若以k0=6.635为临界值,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认