搜索
-1-3.1.2复数的几何意义目标导航1.了解复数的几何意义.2.理解复数的模的概念,会求复数的模.知识梳理1.复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义(1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,𝑏)这是复数的一种几何意义.知识梳理(2)如图,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量𝑂𝑍由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量𝑂𝑍唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量𝑂𝑍这是复数的另一种几何意义.为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量𝑂𝑍,并且规定,相等的向量表示同一个复数.知识梳理【做一做1-1】复数z=4-7i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:复数z=4-7i在复平面内对应点的坐标是(4,-7),在第四象限.答案:D【做一做1-2】若𝑂𝑍=(-2,0),则𝑂𝑍对应的复数()A.等于2B.等于-2iC.在实轴上D.在虚轴上解析:向量𝑂𝑍对应的复数为-2,在实轴上.答案:C知识梳理3.复数的模复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为𝑂𝑍,则𝑂𝑍的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=𝑎2+𝑏2(r≥0,r∈R).【做一做2】(1)复数z=5-i的模等于;(2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x=.解析:(1)|z|=|5-i|=25+1=26.(2)依题意有𝑥2+4=4,解得x=±23.答案:(1)26(2)±23重难聚焦1.如何理解复数与点、向量间的对应关系?剖析每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数.复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从而复数也可以与复平面内的向量一一对应.复数z=a+bi(a,b∈R)与点Z(a,b)和向量𝑂𝑍的一一对应关系如下:重难聚焦这种对应关系架起了联系复数与几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.另外,还应注意以下几点:(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).(2)当a=0时,对任何b≠0,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.(3)复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量𝑂𝑍是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与向量𝑂𝑍相等的向量有无数多个.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写,复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.重难聚焦2.如何理解复数的模?剖析从数的角度理解,可类比绝对值,即复数的模是表示这个复数的点到原点的距离.从形的角度理解,复数的模是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离.事实上,在实数集中,实数a的绝对值,即|a|表示实数a的点与原点O的距离.那么在复数集中,类似地,有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点O的距离,也就是𝑂𝑍的模,即|z|=|𝑂𝑍|.另外注意:(1)复数的模是一个非负实数;(2)尽管复数一般不能比较大小,但模可以比较大小.典例透析题型一题型二题型三复数的几何意义【例1】在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.分析:方法一:复数→点的坐标→中点坐标公式→点D的坐标→点D对应的复数方法二:复数→向量→向量运算→𝑂𝐷→点D对应的复数典例透析题型一题型二题型三解:方法一:由已知,得点A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,2),则线段AC的中点坐标为2,32.由平行四边形的性质,知点2,32也是线段BD的中点.设点D的坐标为(x,y),则𝑥+12=2,𝑦+02=32,∴𝑥=3,𝑦=3,即点D的坐标为(3,3).故顶点D对应的复数为3+3i.典例透析题型一题型二题型三方法二:由已知,得𝑂𝐴=(0,1),𝑂𝐵=(1,0),𝑂𝐶=(4,2),∴𝐵𝐴=(-1,1),𝐵𝐶=(3,2).∴𝐵𝐷=𝐵𝐴+𝐵𝐶=(2,3).∴𝑂𝐷=𝑂𝐵+𝐵𝐷=(3,3).故顶点D对应的复数为3+3i.反思复数的几何意义包含两种情况:(1)复数与复平面内点的对应:复数的实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:(1)位于第四象限内;(2)位于x轴负半轴上;(3)在上半平面(含实轴)?解:(1)要使点位于第四象限内,需𝑚2-8𝑚+150,𝑚2+3𝑚-280,解得-7m3.(2)要使点位于x轴负半轴上,需𝑚2-8𝑚+150,𝑚2+3𝑚-28=0,解得m=4.(3)要使点位于上半平面(含实轴),需m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.典例透析题型一题型二题型三复数的模的求法【例2】若复数z=2𝑎-1𝑎+2+(a2-a-6)i(a∈R)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为.分析:根据复数为实数的条件以及模的计算公式求解.解析:因为z为实数,所以a2-a-6=0,解得a=-2或a=3.又因为当a=-2时,a+2=0,故a=3,于是z1=2-5i,因此|z1|=29.答案:29反思1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.2.若两个复数相等,则其模必相等.反之,若两个复数的模相等,则这两个复数不一定相等.3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=5,则复数z=.解析:依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=5,得𝑎2+4𝑎2=5,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:1+2i或-1-2i典例透析题型一题型二题型三复数的模的应用【例3】已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|4,求实数a的取值范围.分析:利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解.解:方法一:∵z=3+ai(a∈R),∴|z|=32+𝑎2.由已知,得32+𝑎24,∴a27.∴a∈(−7,7).典例透析题型一题型二题型三方法二:利用复数的几何意义.如图,由|z|4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界).由z=3+ai(a∈R),知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知−7𝑎7,即a∈(−7,7).典例透析题型一题型二题型三反思1.利用模的定义,得到关于a的不等式,与利用复数相等的充要条件一样,都贯彻了复数问题实数化的思想,这是本章的一种重要思想方法.2.从几何意义上理解,复数的模表示复数对应的点到原点的距离,所以|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】设z=a+bi(a,b∈R),求在复平面内满足下列条件的点所组成的图形.(1)|a|2,且|b|2;(2)|z|≤2,且|b|1;(3)|z|=2,且ab;(4)1≤|z|≤2.解:(1)在复平面内,满足不等式|a|2的点组成的图形是位于两条平行直线x=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线).满足不等式|b|2的点组成的图形是位于两条平行直线y=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图①所示.典例透析题型一题型二题型三(2)不等式|z|≤2的解集对应的点是以原点为圆心,以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件|b|1的点是直线y=1以上及直线y=-1以下的点,两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为圆心、以2为半径的圆被直线y=±1所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图②所示.(3)方程|z|=2对应点的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆周.满足条件ab的点组成的图形是位于直线y=x下方的半平面,其中不包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示.典例透析题型一题型二题型三(4)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组|𝑧|≤2,|𝑧|≥1.不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点构成的集合;不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1和该圆外部所有点构成的集合.这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点构成的集合.所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界,如图④阴影部分所示.典例透析