搜索
-1-3.1.1数系的扩充和复数的概念目标导航1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法.知识梳理1.复数的概念及代数表示法(1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定i·i=-1,即i2=-1.(2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),应注意其虚部是b,而不是bi.2.对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b.若没有a,b∈R这一条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.知识梳理【做一做1-1】复数z=5-6i的实部等于,虚部等于.答案:5-6【做一做1-2】若复数z=2b−3i(b∈R)的实部与虚部相等,则b=.解析:由已知得2b=−3,所以b=−32.答案:−32知识梳理2.复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d.温馨提示应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.【做一做2】满足x+y+(x-y)i=2的实数x,y的值为()A.𝑥=2,𝑦=0B.𝑥=1,𝑦=1C.𝑥=0,𝑦=2D.𝑥=-1,𝑦=-1解析:由𝑥+𝑦=2,𝑥-𝑦=0,得𝑥=1,𝑦=1.故选B.答案:B知识梳理3.复数的分类(1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:复数𝑧实数(𝑏=0)虚数(𝑏≠0)(当𝑎=0时为纯虚数)(2)集合表示:温馨提示实数集R是复数集C的真子集,即R⫋C.至此,我们学过的有关数集的关系为:N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.知识梳理【做一做3-1】给出下列各复数:3+7,23i,0,8+3i,(2+3)i,0.618,其中纯虚数的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:根据纯虚数的定义知,23i,(2+3)i是纯虚数.答案:C【做一做3-2】“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由复数的概念知,若a+bi为纯虚数,则必有a=0成立,即为必要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.答案:B重难聚焦1.数系扩充的一般原则是什么?剖析数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C.从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则:(1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集;(2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用;(3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.重难聚焦2.如何理解虚数单位i?剖析在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x2+1=0,为解决解方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.因为i20与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立.重难聚焦3.如何理解复数的分类?剖析(1)复数的分类如下:复数z=a+bi(a,b∈R)𝑧是实数(𝑏=0)𝑧等于0(𝑎=0)𝑧是非零实数(𝑎≠0)𝑧是虚数(𝑏≠0)𝑧是纯虚数(𝑎=0)𝑧是非纯虚数(𝑎≠0)(2)各类特殊的复数是由其实部、虚部所满足的条件所确定的,因此在解决具体问题时,应根据这些条件列出实部与虚部应满足的等式或不等式进行求解.(3)若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).典例透析题型一题型二题型三复数的概念和性质【例1】判断下列说法是否正确:(1)若z∈C,则z2≥0;(2)复数由实数、虚数、纯虚数构成;(3)复数2+3i的虚部是3i;(4)若a,b∈R,且ab,则a+ib+i;(5)在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数.分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.解:(1)错,如z=i∈C,但i2=-10.(2)错,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数.(3)错,复数2+3i的虚部是3.(4)错,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.(5)正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数,必有x=0,y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数.典例透析题型一题型二题型三反思判断有关复数概念的命题的真假,注意以下几点:(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】给出下列命题:①若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0;②形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数;③若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数;④若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,但可以有x=0,故①错;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,故②错;当a∈R,a+3≠0时,(a+3)i是纯虚数,故③错;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故④正确.答案:A典例透析题型一题型二题型三复数相等的充要条件【例2】已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.分析:M∪P=P→M⊆P→(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i→列方程组可求得m的值解:∵M∪P=P,∴M⊆P,∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得𝑚2-2𝑚=-1,𝑚2+𝑚-2=0,解得m=1.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得𝑚2-2𝑚=0,𝑚2+𝑚-2=4,解得m=2.综上可知实数m的值为1或2.典例透析题型一题型二题型三反思复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】已知x2+y2-4+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值.解:由复数相等的充要条件,得𝑥2+𝑦2-4=0,𝑥-𝑦-2=0,解得𝑥=2,𝑦=0或𝑥=0,𝑦=-2.典例透析题型一题型二题型三复数的分类【例3】当实数m为何值时,复数z=𝑚2+𝑚-6𝑚+(m2-2m)i为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?分析:根据复数的分类标准→列出方程(不等式)组→解出m→结论解:(1)当𝑚2-2𝑚=0,𝑚≠0,即m=2时,复数z是实数.(2)当𝑚2-2𝑚≠0,𝑚≠0,即m≠0,且m≠2时,复数z是虚数.(3)当𝑚2+𝑚-6𝑚=0,𝑚2-2𝑚≠0,即m=-3时,复数z是纯虚数.典例透析题型一题型二题型三反思在利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)),求解参数时,注意考虑问题要全面.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】已知复数z=(a3-4a2+3a)+1-2𝑎i(a∈R,a≠0).(1)当a为何值时,z是实数?(2)当a为何值时,z是虚数?(3)是否存在实数a,使得z是纯虚数?(4)是否存在实数a,使得z等于0?典例透析题型一题型二题型三解:(1)当z是实数时,应满足1−2𝑎=0,解得a=2.(2)当z是虚数时,应满足1−2𝑎≠0,且a≠0,故a≠0,且a≠2.(3)若z是纯虚数,则应有𝑎3-4𝑎2+3𝑎=0,1-2𝑎≠0,𝑎≠0,解得a=1或a=3,即存在实数a,使得z是纯虚数.(4)若z等于0,则应有𝑎3-4𝑎2+3𝑎=0,1-2𝑎=0,𝑎≠0无解,故不存在实数a,使得z等于0.典例透析