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3.3.2均匀随机数的产生课标解读1.能用模拟方法估计事件的概率．(重点)2.设计科学的试验来估计概率．(难点)知识均匀随机数及其产生【问题导思】1．取一根长度为3m的绳子拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？【提示】13.2．如果用试验的方法可以模拟出此概率吗？【提示】可以．3．如果做试验去模拟会造成很大的浪费，那么能否用别的方法去代替呢？【提示】可以用计算机模拟．1．[0,1]上均匀随机数的产生利用计算器的RNAD函数可以产生[0,1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．等可能性的2．[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀数x＝RAND，然后利用伸缩和平移变换就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是．3．随机模拟方法的基本思想是.x1＝x*(b－a)＋a等可能的估计概率类型1用随机模拟法估算几何概型问题的概率例1取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【思路探究】(1)用随机模拟的方法可以解决本例问题吗？(2)把事件怎样转化为均匀随机数？如何求出概率？解法一(1)利用计算器或计算机产生一组(共N个)0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．法二做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数，则fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．规律方法1．在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪得两段长都不小于1m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件A发生的频率.2．用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．变式训练在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．解(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝a1](3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数个数N1.(4)计算频率N1N.记事件A＝{面积介于36cm2与81cm2之间}＝{边长介于6cm与9cm之间}，则P(A)的近似值为fn(A)＝N1N.类型2用随机模拟法近似计算不规则图形的面积例2利用随机模拟方法计算如图3－3－5中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．图3－3－5【思路探究】画出正方形→随机模拟→算出面积比→求得面积近似值解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(3)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝S4.∴N1N＝S4，∴S＝4N1N即为阴影部分面积的近似值．规律方法1．解答本题的关键是利用随机模拟法和几何概型公式得到概率，然后反解求得面积的近似值．2．利用随机模拟方法求不规则图形的面积，其实质是利用概率相等：不规则图形的面积规则图形的面积＝P(A)＝不规则图形内的样本点数试验总次数.变式训练利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a＝a2]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．(3)设阴影部分面积为S.由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.∴S12≈N1N.∴S≈12N1N即为阴影部分面积的近似值.易错易误辨析因条件用错而致误典例利用随机模拟方法计算图中阴影题图部分(y＝x2和y＝4所围成图形)的面积．【错解】在坐标系中画出矩形(x＝2，x＝－2，y＝0，y＝4所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行计算．(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝S16，∴N1N≈S16，∴S≈16N1N即为阴影部分面积的近似值．【错因分析】解答中ba2这一条件用错，实际上阴影部分点(a，b)应满足的条件应为ba2.【防范措施】用随机模拟的方法解决问题时，一定要注意题目所满足的条件．【正解】只要把错解中步骤(3)的“ba2”改为“ba2”即可．课堂小结随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：1．由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．2．由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．3．由事件A发生的条件确定随机数所满足的关系式．当堂检测1．在一半径为1的圆内有10个点，向圆内随机投点，则这些点不落在这10个点上的概率为()A．0B．1C．12D．无法确定【解析】有限个点不影响面积，故不落在10个点上的区域就等于圆的面积，∴P＝ππ＝1.【答案】B2．已知利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝0.2，则利用伸缩和平移变换后，得到在[2,4]内的均匀随机数为________．【解析】利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数后，由伸缩和平移变换公式x＝x1×(b－a)＋a，得到[a，b]上的均匀随机数0.2×(4－2)＋2＝2.4.【答案】2.43．任意扔一个豆子在正方形中，则落在正方形内切圆内的概率是________．【解析】设正方形边长为2，则面积为4，其内切圆的半径为1，面积为π，则任意扔一豆子在正方形中，落入其内切圆的概率P＝π4.【答案】π44．节日期间，学校要在距离为5m的两盏路灯之间悬挂一盏彩灯，为保证亮化效果，要求所悬挂的彩灯与两盏路灯的距离都不小于2m．若负责这项工作的同学在两盏路灯之间任选一个位置悬挂彩灯，利用随机模拟的方法求他所悬挂的彩灯满足要求的概率．解(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝5a1.(3)统计出[2,3]内随机数的个数N1和[0,5]内随机数的个数N.(4)计算频率fn(A)＝N1N即为所求概率的近似值.