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3.2.1古典概型1．了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点)2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)3．会用列举法求古典概型的概率．(重点)[基础·初探]教材整理1基本事件的特点阅读教材，完成下列问题．1．任何两个基本事件是_______.2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成_____________.互斥的基本事件的和随手练某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．【答案】C教材整理2古典概型阅读教材，完成下列问题．1．古典概型的特点如果某类概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件___________；(2)每个基本事件出现的___________.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝______________________.只有有限个可能性相等A包含的基本事件的个数基本事件的总数随手练1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是1n.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.23【解析】基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝26＝13.【答案】C3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．【解析】从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为310.【答案】310[小组合作型]类型1基本事件和古典概型的判断例1(1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是()A．向上的点数是奇数B．向上的点数是3C．向上的点数是4D．向上的点数是6(2)下列是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止【精彩点拨】结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．【解析】(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．故选A.(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．【答案】(1)A(2)C1．基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．2．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．[再练一题]1．下列试验是古典概型的为________.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【解析】①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．【答案】①②④类型2基本事件的计数问题例2有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．【精彩点拨】根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．解(1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．1．在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写．2．确定基本事件是否与顺序有关．3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．[再练一题]2．连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？解(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．类型3简单的古典概型的概率计算例3袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．【精彩点拨】(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．解(1)用树状图表示所有的结果为：所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，所以P(A)＝610＝0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P(B)＝710＝0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.1．求古典概型概率的计算步骤(1)确定基本事件的总数n；(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；(3)计算事件A的概率P(A)＝mn.2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．[再练一题]3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球．解每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个．全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．∵A中含有基本事件个数为m＝6，∴P(A)＝mn＝68＝0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”．∵B中含基本事件个数为m＝2，∴P(B)＝mn＝28＝0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．∵C中含有基本事件个数为m＝4，∴P(C)＝48＝0.5.[探究共研型]探究点1基本事件的特征探究1为什么说基本事件是彼此互斥的？【提示】基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．探究2基本事件的表示方法有哪些？【提示】写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．探究点2古典概型的特征探究3古典概型有何特点？何为非古典概型？【提示】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：(1)基本事件个数有限，但非等可能；(2)基本事件个数无限，但等可能；(3)基本事件个数无限，也不等可能．探究4举例说明古典概型的概率与模型选择无关？【提示】以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝26＝13；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝13.例4先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【精彩点拨】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．解如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4，3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝1236＝13.1．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．[再练一题]4．抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解如图，基本事件共有36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝14.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，