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-1-本讲整合知识建构综合应用真题放送柯西不等式与排序不等式柯西不等式代数形式向量形式三角不等式排序不等式乱序和反序和顺序和知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题一柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用1已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的取值范围.提示：由a2+b2+c2+d2+e2联想到应用柯西不等式.解:∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,∴4(16-e2)≥(8-e)2,64-4e2≥64-16e+e2,即5e2-16e≤0,∴e(5e-16)≤0,∴0≤e≤165.故e的取值范围是0,165.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用2若n是不小于2的正整数,试证:471−12+13−14+⋯+12𝑛-1−12𝑛22.提示：注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可进行恒等变形予以化简.证明：1−12+13−14+⋯+12𝑛-1−12𝑛=1+12+13+…+12𝑛−212+14+…+12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+12𝑛,所以求证式等价于471𝑛+1+1𝑛+2+⋯+12𝑛22.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四由柯西不等式,有1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛[(𝑛+1)+(𝑛+2)+⋯+2n]n2,于是1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+12𝑛𝑛2(𝑛+1)+(𝑛+2)+…+2𝑛=2𝑛3𝑛+1=23+1𝑛≥23+12=47,又由柯西不等式,有1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+12𝑛(12+12+…+12𝑛个)1(n+1)2+1(n+2)2+…+1(2n)2≤n1n-12n=22.综上可知,原不等式成立.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题二排序不等式的应用利用排序不等式可以简洁地证明一类不等式,其证明的关键是找出两组有序数组,通常可以从函数单调性去寻找.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用在△ABC中,试证:π3≤𝑎𝐴+𝑏𝐵+𝑐𝐶𝑎+𝑏+𝑐π2.提示：可构造△ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明.证明：不妨设a≤b≤c,于是A≤B≤C,由排序不等式,得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC≥bA+cB+aC,aA+bB+cC≥cA+aB+bC.相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c),得𝑎𝐴+𝑏𝐵+𝑐𝐶𝑎+𝑏+𝑐≥π3,①知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四又由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC),由①②得原不等式成立.得𝑎𝐴+𝑏𝐵+𝑐𝐶𝑎+𝑏+𝑐π2.②知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题三利用不等式解决最值问题利用不等式解决最值问题,尤其是含多个变量的问题,是一种常用方法.特别是条件最值问题,通常运用基本不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等,但要注意等号成立的条件能否满足.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,求3𝑎+2𝑏+𝑐的最大值.解:根据柯西不等式,知(a+2b+3c)(3)2+12+132≥3·𝑎+1·2𝑏+13·3𝑐2=(3𝑎+2𝑏+𝑐)2,即(3𝑎+2𝑏+𝑐)2≤1323,则3𝑎+2𝑏+𝑐≤1333,当且仅当𝑎3=2𝑏1=3𝑐13时,等号成立.∵a+2b+3c=13,∴a=9,b=32,𝑐=13时,3𝑎+2𝑏+𝑐有最大值1333.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题四利用柯西不等式解决实际问题数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题,利用柯西不等式解决实际问题,关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1.在此三角形中任取点P,过点P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时点P的位置.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四解:分别取OA,OB所在直线为x轴、y轴,则AB的方程为x+y=1,记点P的坐标为P(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S=12𝑥𝑃2+12𝑦𝑃2+12(1−𝑥𝑃−𝑦𝑃)2,知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四则2S=𝑥𝑃2+𝑦𝑃2+(1−𝑥𝑃−𝑦𝑃)2.由柯西不等式,得[𝑥𝑃2+𝑦𝑃2+(1−𝑥𝑃−𝑦𝑃)2](12+12+12)≥[xP+yP+(1-xP-yP)]2,即2S×3=6S≥1,所以S≥16,当且仅当𝑥𝑃1=𝑦𝑃1=1-𝑥𝑃-𝑦𝑃1时,等号成立.故当xP=yP=13时,面积S最小,且最小值为16.知识建构综合应用真题放送121(2018江苏,21D)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.解:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4.当且仅当𝑥1=𝑦2=𝑧2时,不等式取等号,此时x=23,𝑦=43,𝑧=43,所以x2+y2+z2的最小值为4.知识建构综合应用真题放送122(2017江苏,21D)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.证明:由柯西不等式可得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.知识建构综合应用真题放送