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-1-三排序不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.掌握排序不等式的推导和证明过程.2.会利用排序不等式解决简单的不等式问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.基本概念设a1a2a3…an,b1b2b3…bn是两组实数,c1,c2,c3,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任意一个排列,则S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的反序和;S2=a1b1+a2b2+…+anbn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的顺序和;S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的乱序和.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.归纳总结分析题目时要找到原始的两组实数.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做】设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则乘积a1b1+a2b2+…+anbn不大于.答案：𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.对排序原理的正确理解剖析：(1)排序原理的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列.(2)排序原理的思想:在解答数学问题时常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小的顺序,那么在解答问题时,不妨先将它们按一定顺序排列起来,这往往十分有助于解题.(3)排序不等式实际上包含三个不等关系,即顺序和≥乱序和、顺序和≥反序和、乱序和≥反序和,可以有选择的运用其中一个来证明相关不等式.(4)排序原理的推论:对于实数a1,a2,…,an,设𝑎𝑖1,𝑎𝑖2,…,𝑎𝑖𝑛为其任一排列,则有a1𝑎𝑖1+𝑎2𝑎𝑖2+⋯+a𝑛𝑎𝑖𝑛≤𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.排序不等式的应用剖析：应用排序不等式来证明不等式,在实际问题中也有较大范围的应用,如基本不等式就是排序不等式的直接推论.排序不等式也是基本而重要的不等式,它的思想简单明了,便于记忆和应用,许多重要的不等式可以借助排序不等式得到证明.一方面,一些非常重要的不等式,也是排序不等式的直接推论,因此排序不等式有非常深刻的理论意义;另一方面,排序不等式也有广泛的实际背景.如果我们将a1,a2,…,an(a1≤a2≤…≤an)解释为一个杠杆从支点到它上面放有质量分别为c1,c2,…,cn的质点的距离,要想获得最大的力矩,就应当把最重的物体放在离支点最远的位置上.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型一构造数组利用排序不等式证明【例1】设a,b,c都是正数,求证:𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c.分析：不等式的左边可以分为数组ab,ac,bc和1𝑐,1𝑏,1𝑎,排出顺序后,可利用排序不等式证明.证明：由题意不妨设a≥b≥c0,由不等式的单调性,知ab≥ac≥bc,1𝑐≥1𝑏≥1𝑎.由排序不等式,知ab·1𝑐+𝑎𝑐·1𝑏+𝑏𝑐·1𝑎≥ab·1𝑏+𝑎𝑐·1𝑎+𝑏𝑐·1𝑐,即所证不等式𝑏𝑐𝑎+𝑐𝑎𝑏+𝑎𝑏𝑐≥a+b+c成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二反思要利用排序不等式解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此,比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二【变式训练1】设a,b,c为正数,求证:2𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑐+𝑎+𝑐2𝑎+𝑏≥𝑏2+𝑐2𝑏+𝑐+𝑐2+𝑎2𝑐+𝑎+𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二证明：由对称性,不妨设a≥b≥c0.于是a+b≥a+c≥b+c,a2≥b2≥c2,1𝑏+𝑐≥1𝑐+𝑎≥1𝑎+𝑏.由排序原理,知𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑐+𝑎+𝑐2𝑎+𝑏≥𝑐2𝑏+𝑐+𝑎2𝑐+𝑎+𝑏2𝑎+𝑏,𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑐+𝑎+𝑐2𝑎+𝑏≥𝑏2𝑏+𝑐+𝑐2𝑐+𝑎+𝑎2𝑎+𝑏,将上面两个同向不等式相加,得2𝑎2𝑏+𝑐+𝑏2𝑐+𝑎+𝑐2𝑎+𝑏≥𝑏2+𝑐2𝑏+𝑐+𝑐2+𝑎2𝑐+𝑎+𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型二需要对不等式中所给字母的大小顺序做出假设的情况【例2】设a,b,c为正数,求证:𝑎2+𝑏22𝑐+𝑏2+𝑐22𝑎+𝑐2+𝑎22𝑏≤𝑎3𝑏𝑐+𝑏3𝑐𝑎+𝑐3𝑎𝑏.分析：解答本题时不妨先设定0a≤b≤c,再利用排序不等式加以证明.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二证明：不妨设0a≤b≤c,则a3≤b3≤c3.01𝑏𝑐≤1𝑐𝑎≤1𝑎𝑏,由排序不等式,得a3·1𝑐𝑎+𝑏3·1𝑎𝑏+𝑐3·1𝑏𝑐≤a3·1𝑏𝑐+𝑏3·1𝑐𝑎+𝑐3·1𝑎𝑏,①a3·1𝑎𝑏+𝑏3·1𝑏𝑐+𝑐3·1𝑐𝑎≤a3·1𝑏𝑐+𝑏3·1𝑐𝑎+𝑐3·1𝑎𝑏.②将①②两式相加,得𝑎2+𝑏2𝑐+𝑏2+𝑐2𝑎+𝑐2+𝑎2𝑏≤2𝑎3𝑏𝑐+𝑏3𝑐𝑎+𝑐3𝑎𝑏,将不等式两边除以2,得𝑎2+𝑏22𝑐+𝑏2+𝑐22𝑎+𝑐2+𝑎22𝑏≤𝑎3𝑏𝑐+𝑏3𝑐𝑎+𝑐3𝑎𝑏.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二反思在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要限定一种大小关系.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二【变式训练2】设a1,a2,…,an为1,2,…,n的一个排列,求证:12+23+⋯+𝑛-1𝑛≤𝑎1𝑎2+𝑎2𝑎3+⋯+𝑎𝑛-1𝑎𝑛.证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1b2…bn-1,c1,c2,…,cn-1为a2,a3,…,an的一个排列,且c1c2…cn-1,于是1𝑐11𝑐2⋯1𝑐𝑛-1.由乱序和≥反序和,得𝑎1𝑎2+𝑎2𝑎3+⋯+𝑎𝑛-1𝑎𝑛≥𝑏1𝑐1+𝑏2𝑐2+⋯+𝑏𝑛-1𝑐𝑛-1.∵b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,∴𝑏1𝑐1+𝑏2𝑐2+⋯+𝑏𝑛-1𝑐𝑛-1≥12+23+⋯+𝑛-1𝑛,即12+23+⋯+𝑛-1𝑛≤𝑏1𝑐1+𝑏2𝑐2+⋯+𝑏𝑛-1𝑐𝑛-1≤𝑎1𝑎2+𝑎2𝑎3+⋯+𝑎𝑛-1𝑎𝑛.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航