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-1-二一般形式的柯西不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(𝑎12+𝑎22+𝑎32)(𝑏12+𝑏22+𝑏32)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-1】已知x,y,z0,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()A.1B.13C.12D.3解析：由柯西不等式得(x2+y2+z2)·(12+12+12)≥(x+y+z)2=1,即x2+y2+z2≥13,当且仅当x=y=z=13时,等号成立.故所求最小值为13.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-2】已知a,b,c0,且a+b+c=1,则3𝑎+1+3𝑏+1+3𝑐+1的最大值为()A.3B.32C.18D.9解析：由柯西不等式得(3𝑎+1+3𝑏+1+3𝑐+1)2≤(1+1+1)·(3a+1+3b+1+3c+1)=3[3(a+b+c)+3].∵a+b+c=1,∴(3𝑎+1+3𝑏+1+3𝑐+1)2≤3×6=18.∴3𝑎+1+3𝑏+1+3𝑐+1≤32,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.答案：B目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2)(𝑏12+𝑏22+⋯+𝑏𝑛2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.归纳总结尽可能地构造符合柯西不等式的形式.常用技巧有:(1)巧拆常数;(2)重新安排某些项的次序;(3)改变结构;(4)添项.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】若𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2=1,𝑏12+𝑏22+⋯+𝑏𝑛2=4,则𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+⋯+𝑎𝑛𝑏𝑛的最大值为()A.1B.-1C.2D.-2答案：C知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一三维形式的柯西不等式【例1】在△ABC中,设其各边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2)1sin2𝐴+1sin2𝐵+1sin2𝐶≥36R2.证明：∵𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2𝑅,∴(a2+b2+c2)1sin2𝐴+1sin2𝐵+1sin2𝐶≥𝑎sin𝐴+𝑏sin𝐵+𝑐sin𝐶2=36R2.∴原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思由a,b,c构成新的数,形成三维形式的柯西不等式.这从所给的数学式的结构中看出,需要有较高的观察能力.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】设a,b,c为正数,求证:𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c.证明：由柯西不等式,知𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎(𝑎+𝑏+𝑐)=𝑎𝑏2+𝑏𝑐2+𝑐𝑎2·[(𝑎)2+(𝑏)2+(𝑐)2]≥𝑎𝑏·𝑏+𝑏𝑐·𝑐+𝑐𝑎·𝑎2=(𝑎+𝑏+𝑐)2.∵a,b,c为正数,∴a+b+c0.∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二多维形式的柯西不等式【例2】已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.求证:𝑎12𝑎1+𝑎2+𝑎22𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+𝑎𝑛+𝑎𝑛2𝑎𝑛+𝑎1≥12.分析：已知条件中a1+a2+…+an=1,可以看作“1”的代换,而要证的不等式的左边为𝑎1𝑎1+𝑎2,𝑎2𝑎2+𝑎3,…,𝑎𝑛𝑎𝑛+𝑎1的平方和,所以a1+a2+…+an=1应扩大2倍后再利用.本题还可以利用其他的方法证明.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四证法一：根据柯西不等式,得不等式左边=𝑎12𝑎1+𝑎2+𝑎22𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+𝑎𝑛+𝑎𝑛2𝑎𝑛+𝑎1=[(𝑎1+𝑎2)+(𝑎2+𝑎3)+(𝑎3+𝑎4)+⋯+(an-1+an)+(an+a1)]·𝑎1𝑎1+𝑎22+𝑎2𝑎2+𝑎32+𝑎3𝑎3+𝑎42+…+𝑎𝑛-1𝑎𝑛-1+𝑎𝑛2+𝑎𝑛𝑎𝑛+𝑎12·12知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四=[(𝑎1+𝑎2)2+(𝑎2+𝑎3)2+⋯+(𝑎𝑛-1+𝑎𝑛)2+(𝑎𝑛+𝑎1)2]·𝑎1𝑎1+𝑎22+𝑎2𝑎2+𝑎32+…+𝑎𝑛-1𝑎𝑛-1+𝑎𝑛2+𝑎𝑛𝑎𝑛+𝑎12·12≥𝑎1+𝑎2·𝑎1𝑎1+𝑎2+𝑎2+𝑎3·𝑎2𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛-1+𝑎𝑛·𝑎𝑛-1𝑎𝑛-1+𝑎𝑛+𝑎𝑛+𝑎1·𝑎𝑛𝑎𝑛+𝑎12·12=(𝑎1+𝑎2+⋯+an)2·12=12=不等式右边,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.故原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四证法二：因为a0,所以a+1𝑎≥2,即a≥2−1𝑎,当且仅当a=1时,等号成立.利用上面的结论,知𝑎12𝑎1+𝑎2=𝑎12·2𝑎1𝑎1+𝑎2≥𝑎122-𝑎1+𝑎22𝑎1=𝑎1−𝑎1+𝑎24.同理,有𝑎22𝑎2+𝑎3≥a2−𝑎2+𝑎34,……𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+𝑎𝑛≥an-1−𝑎𝑛-1+𝑎𝑛4,𝑎𝑛2𝑎𝑛+𝑎1≥an−𝑎𝑛+𝑎14.以上式子相加整理,得𝑎12𝑎1+𝑎2+𝑎22𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+𝑎𝑛+𝑎𝑛2𝑎𝑛+𝑎1≥12(𝑎1+𝑎2+⋯+an)=12,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思通过本题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式及其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】设a1,a2,a3,…,an为实数,b1,b2,b3,…,bn为正数,求证:𝑎12𝑏1+𝑎22𝑏2+𝑎32𝑏3+⋯+𝑎𝑛2𝑏𝑛≥(𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛)2𝑏1+𝑏2+𝑏3+…+𝑏𝑛.证明：由柯西不等式,得𝑎12𝑏1+𝑎22𝑏2+…+𝑎𝑛2𝑏𝑛(𝑏1+𝑏2+⋯+bn)≥𝑎1𝑏1·𝑏1+𝑎2𝑏2·𝑏2+…+𝑎𝑛𝑏𝑛·𝑏𝑛2=(𝑎1+𝑎2+⋯+an)2.∵b1,b2,…,bn为正数,∴b1+b2+…+bn0.∴𝑎12𝑏1+𝑎22𝑏2+⋯+𝑎𝑛2𝑏𝑛≥(𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛)2𝑏1+𝑏2+…+𝑏𝑛,当且仅当𝑎1𝑏1=𝑎2𝑏2=⋯=𝑎𝑛𝑏𝑛时,等号成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三柯西不等式的综合应用【例3】设f(x)=lg1𝑥+2𝑥+…+(𝑛-1)𝑥+𝑎·𝑛𝑥𝑛,若0≤a≤1,n∈N+,且n≥2,求证:f(2x)≥2f(x).分析：由题目可获取以下主要信息:①已知f(x)的函数表达式.②变量的取值范围.③证明相关的不等式.解答本题的关键是先将f(2x)≥2f(x)具体化,再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四证明：∵f(2x)=lg12𝑥+22𝑥+…+(𝑛-1)2𝑥+𝑎·𝑛2𝑥𝑛,∴要证f(2x)≥2f(x),只要证lg12𝑥+22𝑥+…+(𝑛-1)2𝑥+𝑎·𝑛2𝑥𝑛≥2lg1𝑥+2𝑥+…+(𝑛-1)𝑥+𝑎·𝑛𝑥𝑛.即证12𝑥+22𝑥+…+(𝑛-1)2𝑥+𝑎·𝑛2𝑥𝑛≥1𝑥+2𝑥+…+(𝑛-1)𝑥+𝑎·𝑛𝑥𝑛2,也即证n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2.(*)∵0≤a≤1,∴a≥a2,根据柯西不等式得n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]≥(12+12+…+12)𝑛个{(1𝑥)2+(2𝑥)2+⋯+[(n-1)x]2+(a·nx)2}≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2,即(*)式成立,故原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思对于较为复杂的证明问题,可采用“分析法”进行推导,从而找到柯西不等式的结构特征.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若0a,b,c1满足条件ab+bc+ca=1,求11-𝑎+11-𝑏+11-𝑐的最小值.解:设S=11-𝑎+11-𝑏+11-𝑐,则S≥321-𝑎+1-𝑏+1-𝑐=93-(𝑎+𝑏+𝑐).由a2+b2+c2≥ab+bc+ca,在这个不等式两边同时加上2(ab+bc+ca),可得(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),所以a+b+c≥3.于是S≥93-(𝑎+𝑏+𝑐)≥93-3=3(3+3)2,当且仅当a=b=c=33时,S取得最小值3(3+3)2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点忽视等号成立的条件致错【例4】已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值.错解：求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.ax≤𝑎2+𝑥22,𝑏𝑦≤𝑏2+𝑦22,𝑐𝑧≤𝑐2+𝑧22,三式相加,得ax+by+cz≤𝑎2+𝑥22+𝑏2+𝑦22+𝑐2+𝑧22=5.故u=ax+by+cz的最大值为5,从而t的最小值为5.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四错因分析：由基本不等式得到u=ax+by+cz≤5是正确的,但这只能说明u的最大值有小于或等于5两种可能,并不能得出u的最大值一定是5.事实上,如果u的最大值为5,错解中的三个不等式应同时取等号,于是a=x,b=y,c=z从而得出a2+b2+c2=x2+y2+z2,即t=5,这是不可能的.产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中等号成立的条件掌握不牢.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四正解：求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式,得u2=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=