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-1-第三讲柯西不等式与排序不等式-2-一二维形式的柯西不等式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1231.二维形式的柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)二维形式的柯西不等式的推论:(a+b)(c+d)≥(𝑎𝑐+𝑏𝑑)2(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑为非负实数);𝑎2+𝑏2·𝑐2+𝑑2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);𝑎2+𝑏2·𝑐2+𝑑2≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做1】已知a,b0,且a+b=1,则(4𝑎+1+4𝑏+1)2的最大值是()A.26B.6C.6D.12解析：(4𝑎+1+4𝑏+1)2=(1×4𝑎+1+1×4𝑏+1)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12,当且仅当4𝑏+1=4𝑎+1,即a=b=12时,等号成立.答案：D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1232.柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123【做一做2】设a=(-2,1,2),|b|=6,则a·b的最小值为,此时b=.解析：根据柯西不等式的向量形式,有|a·b|≤|a|·|b|,∵a=(-2,1,2),|b|=6,当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立.∴-18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为-18,此时b=-2a=(4,-2,-4).∴|a·b|≤(-2)2+12+22×6=18,答案：-18(4,-2,-4)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1233.二维形式的三角不等式(1)设x1,y1,x2,y2∈R,那么𝑥12+𝑦12+𝑥22+𝑦22≥(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2.(2)推论:(𝑥1-𝑥3)2+(𝑦1-𝑦3)2+(𝑥2-𝑥3)2+(𝑦2-𝑦3)2≥(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2,(𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1,𝑦2,𝑦3∈R).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析123归纳总结解决柯西不等式的应用问题,关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系,要有一定的认识.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.柯西不等式取等号的条件剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型一柯西不等式等号成立的条件【例1】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.分析：利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件,3a+b是两部分和的形式,将其看作ac+bd的结构就可利用柯西不等式求其最值.解:利用柯西不等式得(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,∴|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,∴a2=9,b2=1.∴当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值-10;当a=3,b=1时,3a+b有最大值10.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.解:∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,∴4x2+9y2≥12,当且仅当2×2x=3y×2,即2x=3y时,等号成立.又2x+3y=1,得x=14,𝑦=16.故当x=14,𝑦=16时,4x2+9y2的最小值为12.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型二利用柯西不等式证明某些不等式【例2】设a,b0,且a+b=2.求证:𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏≥2.分析：利用柯西不等式前,需要观察不等式的结构特点,本题可以看作是求𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏的最小值,因而需出现(a2+b2)·(c2+d2)的结构.把𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b).知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证明：根据柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏=[(2-𝑎)2+(2-𝑏)2]𝑎2-𝑎2+𝑏2-𝑏2≥2-𝑎·𝑎2-𝑎+2-𝑏·𝑏2-𝑏2=(𝑎+𝑏)2=4.∴𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏≥4(2-𝑎)+(2-𝑏)=2,当且仅当2-𝑎·𝑏2-𝑏=2-𝑏·𝑎2-𝑎,即a=b=1时,等号成立.∴原不等式成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式做适当的变形.这种变形技巧往往要求很高,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】设a,b,c为正数,求证:𝑎2+𝑏2+𝑏2+𝑐2+𝑐2+𝑎2≥2(𝑎+𝑏+𝑐).证明：由柯西不等式得𝑎2+𝑏2·12+12≥a+b,即𝑎2+𝑏2·2≥a+b.同理𝑏2+𝑐2·2≥b+c,𝑐2+𝑎2·2≥c+a.将上面三个同向不等式相加,得2(𝑎2+𝑏2+𝑏2+𝑐2+𝑐2+𝑎2)≥2(a+b+c),于是𝑎2+𝑏2+𝑏2+𝑐2+𝑐2+𝑎2≥2(𝑎+𝑏+𝑐).知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点未注意等号成立的条件致错【例3】已知x,y,a,b∈R+,且𝑎𝑥+𝑏𝑦=1,求𝑥+𝑦的最小值.错解：∵𝑎𝑥+𝑏𝑦=1,∴1=𝑎𝑥+𝑏𝑦≥2𝑎𝑏𝑥𝑦.∴𝑥𝑦≥2𝑎𝑏.∴𝑥+𝑦≥2𝑥𝑦≥4𝑎𝑏.错因分析：二维柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,等号成立的条件是ad=bc.因此在解题时,对照柯西不等式,必须弄清楚柯西不等式中的“a,b,c,d”分别相当于问题中的哪个数或代数式,否则容易写错等号成立的条件.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三正解：构造两组实数𝑥,𝑦,𝑎𝑥,𝑏𝑦.∵x,y,a,b∈R+,𝑎𝑥+𝑏𝑦=1,∴x+y=[(𝑥)2+(𝑦)2]·𝑎𝑥2+𝑏𝑦2≥(𝑎+𝑏)2,当且仅当𝑥∶𝑎𝑥=𝑦∶𝑏𝑦,即𝑥𝑦=𝑎𝑏时,等号成立.∴(x+y)min=(𝑎+𝑏)2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航