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-1-2.3数学归纳法目标导航1.了解数学归纳法的原理.2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤.3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.【做一做1】用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=1-𝑎𝑛+21-𝑎(a≠1),在验证当n=1时,等式的左边为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:因为左边式子中a的最高指数是n+1,所以当n=1时,a的最高指数为2,根据左边式子的规律可得,当n=1时,左边=1+a+a2.答案:C知识梳理【做一做2】若Sk=1𝑘+1+1𝑘+2+1𝑘+3+⋯+12𝑘,则Sk+1为()A.Sk+12𝑘+2B.Sk+12𝑘+1+12𝑘+2C.Sk+12𝑘+1−12𝑘+2D.Sk+12𝑘+2−12𝑘+1解析:由题意知式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=1𝑘+1+1𝑘+2+⋯+12𝑘,①得Sk+1=1𝑘+2+1𝑘+3+⋯+12𝑘+12𝑘+1+12(𝑘+1).②由②-①,得Sk+1-Sk=12𝑘+1+12(𝑘+1)−1𝑘+1=12𝑘+1−12(𝑘+1).故Sk+1=Sk+12𝑘+1−12(𝑘+1),故选C.答案:C知识梳理【做一做3】在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有12𝑛(n-3)条时,第一步验证n的值为.解析:因为三角形是边数最少的凸多边形,所以需验证的第一个n值为3.答案:3知识梳理2.数学归纳法的框图表示重难聚焦1.如何理解数学归纳法?剖析数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点:(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中,n的初始值不一定为1,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定.(3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效.(4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性.重难聚焦2.运用数学归纳法要注意哪些?剖析正确运用数学归纳法应注意以下几点:(1)找准起点.数学归纳法的第一个步骤是要找到初始值n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“n=k”到“n=k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立.在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.重难聚焦(3)正确寻求递推关系.我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.典例透析题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明:1-141-191-116·…·1-1𝑛2=𝑛+12𝑛(n≥2,n∈N*).分析:第一步先验证等式成立的第一个值n0;第二步在假设n=k等式成立的基础上,等式左边加上n=k+1时新增的项,整理出等式右边的项.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)当n=2时,左边=1−14=34,右边=2+12×2=34,所以左边=右边.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即1-141-19·…·1-1𝑘2=𝑘+12𝑘.则当n=k+1时,1-141-19·…·1-1𝑘21-1(𝑘+1)2=𝑘+12𝑘1-1(𝑘+1)2=𝑘+12𝑘·𝑘(𝑘+2)(𝑘+1)2=𝑘+22(𝑘+1)=(𝑘+1)+12(𝑘+1).所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N*等式恒成立.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2𝑛−1)2=13𝑛(4n2-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=13×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=13𝑘(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=13𝑘(4k2-1)+(2k+1)2=13𝑘(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=13(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=13(2k+1)(2k2+5k+3)=13(2k+1)(k+1)(2k+3)=13(k+1)(4k2+8k+3)=13(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明不等式【例2】已知函数f(x)=13𝑥3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f'(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N*).分析:求f'(x)→得an+1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明an≥2n-1(n∈N*)证明:∵f'(x)=x2-1,∴an+1≥(an+1)2-1=𝑎𝑛2+2an.(1)当n=1时,a1≥1=21-1,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即ak≥2k-1.则当n=k+1时,ak+1≥𝑎𝑘2+2ak=ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1≥2k+1-1.即当n=k+1时,命题也成立,由(1)(2)可知,不等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式1+131+15·…·1+12𝑛-12𝑛+12成立.证明:(1)当n=2时,左边=1+13=43,右边=52,左边右边,所以不等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即1+131+15·…·1+12𝑘-12𝑘+12.则当n=k+1时,1+131+15·…·1+12𝑘-11+12(𝑘+1)-12𝑘+12·2𝑘+22𝑘+1=2𝑘+222𝑘+1=4𝑘2+8𝑘+422𝑘+14𝑘2+8𝑘+322𝑘+1=2𝑘+3·2𝑘+122𝑘+1=2(𝑘+1)+12,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)和(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式成立.典例透析题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明几何问题【例3】有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,而12-1+2=2,所以命题成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上增加了2k个区域.所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题也成立.由(1)(2)知命题成立.典例透析题型一题型二题型三题型四反思用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】平面内有n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条不平行、任何三条不过同一点,求证:n条直线的交点个数为f(n)=𝑛(𝑛-1)2.证明:(1)当n=2时,两条直线的交点只有一个,又f(2)=12×2×(2-1)=1,所以当n=2时,命题成立.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)假设当n=k(k∈N*,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为则当n=k+1时,依题意,第(k+1)条直线与前k条直线的交点个数为k,从而(k+1)条直线共有(f(k)+k)个交点,f(k)=12𝑘(k-1).即f(k+1)=f(k)+k=12𝑘(k-1)+k=12𝑘(k-1+2)=12𝑘(k+1)=12(k+1)[(k+1)-1],所以当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,对任意n∈N*(n≥2),命题都成立.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:未用归纳假设而致错【例4】用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=12𝑛(3n-1).错解证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=12𝑘(3k-1),则当n=k+1时,需证1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=12(k+1)(3k+2)(*).因为等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前(k+1)项和,其和为12(k+1)(1+3k+1)=12(k+1)(3k+2),所以(*)式成立,即当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2),可知等式对一切n∈N*都成立.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=12𝑘(3k-1),则当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=12𝑘(3k-1)+(3k+1)=12(3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2)=12(k+1)[3(k+1)-1],即当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对一切n∈N*都成立.典例透析