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-1-2.1.2演绎推理目标导航1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识梳理1.演绎推理含义从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断S是P知识梳理名师点拨三段论推理的依据:用集合的观点来讲,如果集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.三段论的论断基础是这样一个公理“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”,简言之,“全体概括个体”.M,P,S三个概念之间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M,那么必包含了M中的任一概念S(如图①);如果概念P排斥概念M,那么必排斥M中的任一概念S(如图②).弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.知识梳理【做一做】三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线;②直线a⊂α,b⊂α且a与b没有公共点;③a∥b.其中的小前提是()A.①B.②C.③D.①和②答案:B重难聚焦1.怎样认识演绎推理?剖析(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理可以作为数学中严格证明的工具.重难聚焦2.合情推理和演绎推理有怎样的关系?剖析合情推理演绎推理区别常用形式归纳、类比三段论思维过程的方向归纳推理是从部分到整体,从特殊到一般的推理;类比推理是从特殊到特殊的推理以一般性的知识作为前提推出一个特殊性的知识作为结论,即从一般到特殊的推理前提与结论联系的性质结论超过了前提所断定的范围,其结论具有或然性结论不超过前提所断定的范围,前提和结论的联系是必然的应用不能作为数学证明的工具,但它具有创造性思维,对于数学的发现很有意义可以作为数学证明的工具,较少具有创造性,但它严密的论证有助于数学的理论化和系统化重难聚焦合情推理演绎推理联系两者紧密联系,互为依赖,互为补充.(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳推理就没有演绎推理.(2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向都必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理温馨提示就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理,因此我们不仅要学会证明,也要学会猜想.典例透析题型一题型二题型三题型四把演绎推理写成三段论的形式【例1】把下列推断写成三段论的形式:(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;(2)y=3x(x∈R)是单调函数.分析:解答本题的关键在于分清大前提、小前提和结论,还要准确利用三段论的形式.解:(1)因为一条边长的平方等于其他两条边长平方的和的三角形是直角三角形,大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提所以△ABC是直角三角形.结论(2)因为指数函数是单调函数,大前提函数y=3x(x∈R)是指数函数,小前提所以y=3x(x∈R)是单调函数.结论典例透析题型一题型二题型三题型四反思在用三段论写推理过程时,关键是明确大前提、小前提.三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】把下列演绎推理写成三段论的形式:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;(2)因为一切偶数都能被2整除,256是偶数,所以256能被2整除;(3)函数y=x+5的图象是一条直线.解:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提所以水会沸腾.结论(2)因为一切偶数都能被2整除,大前提256是偶数,小前提所以256能被2整除.结论(3)因为一次函数的图象是一条直线,大前提y=x+5是一次函数,小前提所以y=x+5的图象是一条直线.结论典例透析题型一题型二题型三题型四三段论在证明几何问题中的应用【例2】如图,三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.求证:(1)A1B⊥AD;(2)CE∥平面AB1D.分析:(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直(2)线线平行→线面平行典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)连接A1D,DG,BD,∵三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,∴四边形A1ABB1为正方形.∴A1B⊥AB1.∵点D是C1C的中点,∴△A1C1D≌△BCD.∴A1D=BD.∵点G为A1B与AB1的交点,∴G为A1B的中点.∴A1B⊥DG.又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.又AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)连接GE,易知EG∥A1A.∵A1A∥C1C,∴GE∥DC.又GE=DC=12𝑎,∴四边形GECD为平行四边形.∴CE∥DG.又CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,∴CE∥平面AB1D.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.在几何证明问题中,每一步实际上都含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况,从而得到相应结论.2.在本题中,第(1)问中的一个大前提:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线;小前提:A1B⊥平面AB1D,AD⊂平面AB1D;结论:A1B⊥AD.第(2)问中的一个大前提:如果平面外一条直线平行于平面内一直线,那么这条直线平行于这个平面;小前提:CE∥DG,CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D;结论:CE∥平面AB1D.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.求证:(1)B1D1∥平面A1BD;(2)MD⊥AC.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,得BB1∥DD1.∵BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC.又BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D,∴MD⊥AC.典例透析题型一题型二题型三题型四演绎推理在代数问题中的应用【例3】设f(x)=sin(2x+φ)(-πφ0),已知f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8.(1)求φ;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.(1)解:∵直线x=π8是函数y=f(x)图象的对称轴,∴sin2×π8+𝜑=±1.∴π4+𝜑=𝑘π+π2,k∈Z.∵-πφ0,∴φ=−3π4.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)解:由(1)知φ=−3π4,因此y=sin2𝑥-3π4.由题意,得2kπ−π2≤2x−3π4≤2kπ+π2,k∈Z,∴kπ+π8≤x≤5π8+𝑘π,k∈Z.∴函数y=sin2𝑥-3π4的单调递增区间为𝑘π+π8,𝑘π+5π8,k∈Z.(3)证明:∵|y'|=sin2𝑥-3π4'=2cos2𝑥-3π4≤2,∴曲线y=f(x)上某点处的切线的斜率的取值范围为[-2,2].而直线5x-2y+c=0的斜率为522,∴直线5x-2y+c=0与函数y=sin2𝑥-3π4的图象不相切.典例透析题型一题型二题型三题型四反思应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在的条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知函数f(x)=ax+𝑥-2𝑥+1(a1),求证:函数f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增.证明:设x1,x2是区间(-1,+∞)内的任意两个数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=𝑎𝑥1+𝑥1-2𝑥1+1−𝑎𝑥2−𝑥2-2𝑥2+1=𝑎𝑥1−𝑎𝑥2+𝑥1-2𝑥1+1−𝑥2-2𝑥2+1=𝑎𝑥1−𝑎𝑥2+3(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+1)(𝑥2+1).∵a1,且x1x2,又x1-1,x2-1,∴(x1+1)(x2+1)0.∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).∴函数f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增.∴𝑎𝑥1𝑎𝑥2,x1-x20.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:在推理中因循环论证而致错【例4】在Rt△ABC中,∠C=90°,a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|,求证:a2+b2=c2.错解证明:在Rt△ABC中,∠C=90°,设a=csinA,b=ccosA,则a2+b2=c2sin2A+c2cos2A=c2(sin2A+cos2A)=c2.错因分析上述推理犯了循环论证的毛病.本题论证的是勾股定理,而在解题过程中用到了“sin2A+cos2A=1”这个公式,它是由勾股定理推出来的,这种间接地用待证命题的真实性作为证明的论据,就是循环论证.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:证明:用平面几何的方法.如图,在Rt△ABC中,过点C作CH⊥AB于点H,则利用相似三角形,有|CA|2=|AH|·|AB|,|CB|2=|BH|·|AB|,相加即得|CB|2+|CA|2=|AB|2,所以a2+b2=c2.反思1.利用演绎推理进行解题时,必须注意大前提的正确性,而大前提一般是我们学习过的概念、公式、法则、公理、定理、推论等,因此在平时的学习中要正确理解和掌握这些基本知识,明确这些基本知识的使用条件.2.常见的解题错误:(1)条件理解错误(小前提错);(2)定理引入和应用错误(大前提错);(3)推理过程错误等.典例透析