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2.1.3分层抽样目标导航1.理解分层抽样的概念.2.掌握分层抽样的一般步骤.3.区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样.基础梳理知识点一分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体___________________，然后______________，从____________地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.知识点二分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持___________与___________的一致性，这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.分成互不交叉的层按照一定比例各层独立样本结构总体结构差异明显[化解疑难](1)应用分层抽样的前提条件①总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，②每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取，③分层抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目，④一般说来抽样结果比简单随机抽样和系统抽样更能反映总体情况.(2)三种抽样方法的异同点题型一分层抽样的概念例1某企业共有3200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？解：因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理.由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是4003200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18.因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)；中年职工400×510＝200(人)；老年职工400×210＝80(人).[归纳升华]分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.(2)更充分体现和反映了总体的情况.(3)等可能抽样.每个个体被抽到的可能性相等.变式训练1.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为()A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法【解析】由调查①可知个体差异明显，故宜用分层抽样；调查②中个体较少，故宜用简单随机抽样.【答案】B题型二分层抽样方案的设计例2一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与地理位置及水土均有关，问应采取什么样的抽样方法？并写出具体抽样过程.解：采用分层抽样法，具体步骤如下：第一步，将3万人分为5层，其中每一个乡镇为一层.第二步，按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.300×315＝60(人)，300×215＝40(人).300×515＝100(人)，300×215＝40(人)，300×315＝60(人).故各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人.第三步，将抽出的300人合到一起即得一个样本.[归纳升华]1.使用分层抽样的前提分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.2.使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.3.确定每层抽取个数方法首先确定抽样比nN，然后确定每层抽取的个数.变式训练2.某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程.解：(1)样本容量与总体的个体数的比为21210＝110；(2)确定各种商店要抽取的数目：大型：20×110＝2(家)，中型：40×110＝4(家)，小型：150×110＝15(家)；(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；这样便得到了所要抽取的样本.题型三三种抽样方法的选择例3为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高一年级的部分学生的本学年考试成绩.为了全面反映实际情况，采用以下三种方式进行抽查：(已知该学校高一年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已按随机方式编好了学号，假定该学校每个班学生人数都相同).①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20个学生的学习成绩；③把学生按学习成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察.(已知若按成绩分，该校高一学生中优秀生共有150人，良好生共有600人，普通生共有250人)根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽样方式中，其总体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽样方式中各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该学校高一年级全体学生本学年的考试成绩.其中第①种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第②种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第③种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽样方式中，第①种方式采用的方法是简单随机抽样法；第②种方式采用的方法是系统抽样和简单随机抽样法；第③种方式采用的方法是分层抽样和简单随机抽样法.(3)第①种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.第②种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a；第二步：在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人.考察这20名学生的考试成绩.第③种方式抽样的步骤如下：第一步：分层；因为按成绩分，其中优秀生共有150人，良好生共有600人，普通生共有250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.第二步：确定各个层次抽取的人数；因为样本容量与总体容量的比为100∶1000＝1∶10，所以在每一层次抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即15，60，25.第三步：按层次分别抽取.在优秀生中采用随机数法抽取15人；在良好生中采用随机数法抽取60人；在普通生中采用随机数法抽取25人.[归纳升华]弄清三种抽样方法的实质和适用范围，是灵活选用抽样方法的前提和基础.若用分层抽样，应先确定各层的抽取个数，然后在各层中用系统抽样或简单随机抽样进行抽取.变式训练3.(1)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A.②③都不能为系统抽样B.②④都不能为分层抽样C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样(2)某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.以下的抽样方法中，按简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序排列的是()方法1：将140人从1～140编号，然后制作出编号为1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌然后从中抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出.方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，其余各组k号也被抽出，20个人被选出.方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人.从各类人员中抽取所需人员时，可抽到20人.A.方法2，方法1，方法3B.方法2，方法3，方法1C.方法1，方法2，方法3D.方法3，方法1，方法2【解析】(1)由题可知若采用分层抽样，则1～108号中应抽取4人，109～189号中应抽取3人，190～270号中应抽取3人.故④不可能是分层抽样，①②③可能是分层抽样.若采用系统抽样，应分10段，分段间隔为27，所以②④不可能是系统抽样，①③可能是系统抽样，结合各选项知选D.(2)由简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的含义可判断，方法1是简单随机抽样，方法2是系统抽样，方法3是分层抽样，故选C.【答案】(1)D(2)C当堂检测1.某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A.系统抽样法B.简单随机抽样法C.分层抽样法D.随机数法【解析】总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样.【答案】C2.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【解析】结合三种抽样的特点及抽样要求求解.由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样.【答案】C3.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为.【解析】由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人).【答案】9，5，6