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-1-本章整合知识建构综合应用真题放送随机变量及其分布离散型随机变量分布列两点分布超几何分布二项分布条件概率——𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)两事件独立——𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)均值若𝑋服从两点分布,则𝐸(𝑋)=𝑝若𝑋~𝐵(𝑛,𝑝),则𝐸(𝑋)=𝑛𝑝方差若𝑋服从两点分布,则𝐷(𝑋)=𝑝(1-𝑝)若𝑋~𝐵(𝑛,𝑝),则𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1-𝑝)正态分布正态分布密度曲线3𝜎原则𝑃(𝜇-𝜎𝑋≤𝜇+𝜎)≈0.6827𝑃(𝜇-2𝜎𝑋≤𝜇+2𝜎)≈0.9545𝑃(𝜇-3𝜎𝑋≤𝜇+3𝜎)≈0.9973知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题一几个典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况,是进一步研究随机变量的数字特征的基础,对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度,求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤:(1)确定离散型随机变量所有的可能取值,以及取这些值时的意义;(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律;(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用1袋中装有质地均匀的8个白球、2个黑球,从中随机地连续取3次,每次取1球.求:(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.提示:(1)为二项分布;(2)为超几何分布.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到的黑球的概率均为15,3次取球可以看成3次独立重复试验,则X~B3,15.所以P(X=0)=C30150×453=64125;P(X=1)=C31151×452=48125;P(X=2)=C32152×451=12125;P(X=3)=C33153×450=1125.因此,X的分布列为X0123P6412548125121251125知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四(2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:P(Y=0)=C20C83C103=715;P(Y=1)=C21C82C103=715;P(Y=2)=C22C81C103=115.因此,Y的分布列为Y012P715715115知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四(1)设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求η的分布列;(2)若他只有6颗子弹,只要击中目标,则不再射击,否则子弹打完,求他射击次数ξ的分布列.提示:(1)中η的取值是全体正整数;(2)中ξ的取值是1,2,3,4,5,6.应用2某人参加射击,击中目标的概率为13.解:(1)设η=k表示他前(k-1)次未击中目标,而在第k次射击时击中目标,则η的取值为全体正整数1,2,3,…,所以P(η=k)=23𝑘-113(k=1,2,3,…),故η的分布列为η123…k…P1323·13232·13…23k-1·13…知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四(2)设ξ=k表示他前(k-1)次未击中目标,而在第k次射击时击中目标,k=1,2,3,4,5,则P(ξ=k)=23𝑘-113(k=1,2,3,4,5).因为ξ=6表示前5次未击中,所以P(ξ=6)=235.故ξ的分布列为ξ123456P13294278811624332243知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题二事件的相互独立与二项分布的应用独立事件与二项分布是高考的一个重点,独立事件是相互之间无影响的事件,P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B独立的充要条件.二项分布实质是独立事件的一类具体情况.一定记好n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用1某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.已知一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值;(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.提示:本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果,明确ξ的取值后,利用相互独立事件的概率公式计算即可.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四解:(1)若三个题目均答错,则得0+0+(-10)=-10(分).若三个题目均答对,则得10+10+20=40(分).三个题目一对两错,包括两种情形:①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0(分);②前两个错,第三个对,得0+0+20=20(分).三个题目两对一错,也包括两种情形:①前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10(分);②第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30(分).故ξ的可能取值为-10,0,10,20,30,40.P(ξ=-10)=0.2×0.2×0.4=0.016;P(ξ=0)=C21×0.2×0.8×0.4=0.128;P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0.256;P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四P(ξ=30)=C21×0.8×0.2×0.6=0.192;P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.所以,ξ的分布列为ξ-10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384ξ的均值为E(ξ)=-10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)=1-P(ξ0)=1-0.016=0.984.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用2甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.提示:本题考查相互独立事件的概率.(1)将三个事件分别设出,列方程求解.(2)用间接法求解.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四解:(1)设A,B,C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件,得𝑃(𝐴𝐵)=14,𝑃(𝐵𝐶)=112,𝑃(𝐴𝐶)=29,即𝑃(𝐴)[1-𝑃(𝐵)]=14,①𝑃(𝐵)[1-𝑃(𝐶)]=112,②𝑃(𝐴)𝑃(𝐶)=29.③由①③,得P(B)=1-98P(C).④知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四代入②,得27[P(C)]2-51P(C)+22=0,解得P(C)=23或P(C)=119(舍去).将P(C)=23代入④,得P(B)=14.将P(B)=14代入①,得P(A)=13.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13,14,23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,则P(D)=1-P(𝐷)=1-[1-P(A)][1-P(B)]·[1-P(C)]=1-23×34×13=56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为56.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题三离散型随机变量的均值和方差1.含义:离散型随机变量的均值和方差是离散型随机变量的重要的数字特征,分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.2.应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高低,相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,再求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用1最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财,提出了三种方案.第一种方案:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能),且获利的概率第二种方案:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万块钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能亏损10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为第三种方案:李师傅妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万块钱全部存入银行一年,现在存款年利率为4%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.为12.35,15,15.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四提示:计算三种方案的均值、方差得出选择方案.解:若按方案一执行,设收益为x万元,则其分布列为x4-2P1212E(x)=4×12+(-2)×12=1.D(x)=(4-1)2×12+(-2-1)2×12=9.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四若按方案二执行,设收益为h万元,则其分布列为h20-1P351515E(h)=2×35+0×15+(-1)×15=1.D(h)=(2-1)2×35+(0-1)2×15+(-1-1)2×15=85.若按方案三执行,收益y=10×4%=0.4(万元).又E(x)=E(h)y,D(x)=9,D(h)=85.由上知D(x)D(h),说明虽然方案一、二收益相等,但方案二更稳妥.所以,建议李师傅家选择方案二投资较为合理.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四应用2受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x/年0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.提示:(1)利用互斥事件的概率公式求其概率.(2)确定随机变量X1,X2可能的取值,分别求出X1,X2每个值对应概率,列出X1,X2的分布列.(3)代入均值公式求出E(X1),E(X2),比较E(X1),E(X2)大小,做出判断.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得E(X1)=1×125+2×350+3×910=14350=2.86(万元),E(X2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E(X1)E(X2),所以应生产甲品牌轿车.知识建构综合应用真题放送专题一专题二专题三专题四专题四正态分布的实际应用