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-1-2.4正态分布ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解正态分布的意义.2.借助正态曲线理解正态分布的性质.3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12341.正态曲线(1)若φμ,σ(x)=12π𝜎e-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)随机变量落在区间(a,b]的概率为P(aX≤b)≈𝑏𝑎𝜑𝜇,𝜎(𝑥)d𝑥.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12342.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).知识拓展1.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布.2.正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指标等.P(aX≤b)=𝑏𝑎𝜑𝜇,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做1】设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(𝑥-10)28,则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10解析:由18πe-(𝑥-10)28=12π𝜎e-(𝑥-𝜇)22𝜎2,可知σ=2,μ=10.(μ为平均数,σ为标准差)答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12343.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.(3)曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234知识拓展曲线特点概率体现曲线在x轴上方P(X)0曲线关于直线x=μ对称①P(Xμ)=P(Xμ)=12,②P(μ-εXμ)=P(μXμ+ε)(其中ε0)曲线在x=μ处达到峰值12𝜋σ0φμ,σ(x)≤12𝜋σ曲线与x轴围成的面积为1P(-∞x+∞)=1ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1234【做一做2】设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤C)=P(ξC),则C等于()A.0B.σC.-μD.μ解析:正态分布在x=μ对称的区间上概率相等,则C=μ.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12344.正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μ-σX≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σX≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σX≤μ+3σ)≈0.9973.知识拓展正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0027,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率剖析首先找出随机变量X服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在关于X=μ对称的区间上取值的概率相等求得结果.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略剖析(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σX≤μ+3σ)的值.(3)注意概率值的求解转化:①P(Xa)=1-P(X≥a);②P(Xμ-a)=P(X≥μ+a);③若bμ,则P(Xb)=1-𝑃(𝜇-𝑏𝑋𝜇+𝑏)2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一正态曲线的应用【例1】如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.分析该曲线的对称轴和最高点从图中容易看出,从而求出总体随机变量的均值、标准差以及正态曲线的函数解析式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:由图象可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为12π,则μ=20,12π𝜎=12π,解得σ=2.于是正态分布密度曲线的函数解析式为φμ,σ(x)=12πe-(𝑥-20)24,x∈(-∞,+∞).总体随机变量的均值是μ=20,方差是σ2=(2)2=2.反思1.要特别注意方差是标准差的平方.2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数解析式,关键是确定参数μ与σ的值.3.当x=μ时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即f(μ)=12π𝜎,注意该式在解题中的运用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】关于正态曲线特点的描述:①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数;④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.说法正确的是()A.①④⑤⑥B.②④⑤C.③④⑤⑥D.①⑤⑥ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,且只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此知A选项正确.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二正态分布下的概率计算【例2】设ξ~N(1,4),试求:(1)P(-1ξ≤3);(2)P(3ξ≤5);(3)P(ξ≥5).分析首先确定μ,σ,然后根据正态曲线的对称性和P(μ-σX≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9545进行求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:∵ξ~N(1,4),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1ξ≤3)=P(1-2ξ≤1+2)=P(μ-σξ≤μ+σ)=0.6827.(2)∵P(3ξ≤5)=P(-3ξ≤-1),∴P(3ξ≤5)=12[P(-3ξ≤5)-P(-1ξ≤3)]=12[P(1-4ξ≤1+4)-P(1-2ξ≤1+2)]=12[P(μ-2σx≤μ+2σ)-P(μ-σx≤μ+σ)]=12(0.9545-0.6827)=0.1359.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(3)∵P(ξ≥5)=P(ξ≤-3),∴P(ξ≥5)=12[1-P(-3ξ≤5)]=12[1-P(1-4ξ≤1+4)]=12[1-P(μ-2σx≤μ+2σ)]=12(1-0.9545)=0.02275.反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】设X~N(10,1).(1)求证:P(1X2)=P(18X19);(2)若P(X≤2)=a,求P(10X18).(1)证明∵X~N(10,1),∴正态曲线φμ,σ(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称,即P(1X2)=P(18X19).∴21𝜑𝜇,σ(x)dx=1918𝜑𝜇,σ(x)dx,(2)解:∵P(X≤2)+P(2X≤10)+P(10X18)+P(X≥18)=1,μ=10,∴P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2X≤10)=P(10X18),∴2a+2P(10X18)=1,即P(10X18)=1-2𝑎2=12-a.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三正态分布的应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外径X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?分析欲判定这批零件是否合格,关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在(μ-3σ,μ+3σ)内,还是在(μ-3σ,μ+3σ)之外.解:由于圆柱形零件的外径X~N(4,0.25),由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0027,而5.7∉(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,故可以认为该厂生产的这批产品是不合格的.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思在试验应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,那么就说明出现了意外情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布,其中μ=8,σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度小于2m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢筋工停止生产,检修钢筋切割机?解: