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-1-2.3.2离散型随机变量的方差ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求方差和标准差.2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利用公式求它们的方差.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)D(aX+b)=a2D(X).Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝐸(𝑋))2𝑝𝑖为随机变量X的方差,并称其算术平方根𝐷(𝑋)为随机变量X的标准差.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度,这就需要求出方差.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】已知ξ的分布列为则D(ξ)等于()A.0.7B.0.61C.-0.3D.0解析:E(ξ)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,则D(ξ)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.245+0.027+0.338=0.61.答案:B【做一做1-2】若随机变量ξ的方差D(ξ)=1,则D(2ξ+1)的值为()A.2B.3C.4D.5解析:D(2ξ+1)=4D(ξ)=4.答案:Cξ-101P0.50.30.2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航X135P0.40.1x12【做一做1-3】已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差为.解析:由条件知,x=0.5.E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.答案:3.56ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.两点分布、二项分布的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).【做一做2】已知随机变量X~B(3,p),D(X)=23,则p=.解析:由已知得,3p(1-p)=23,解得p=13或p=23.答案:13或23ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航求离散型随机变量的方差的步骤是什么剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③求出随机变量的方差.【示例】编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学生的个数是X,求D(X).解:①先求X的分布列.X所有可能的取值为0,1,2,3.X=0表示三位学生全坐错了,情况有2种,所以P(X=0)=23!=13;X=1表示只有一位同学坐对了,情况有3种,所以P(X=1)=33!=12;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航X=2表示有两位学生坐对,一位学生坐错,这种情况不存在,所以P(X=2)=0;X=3表示三位学生全坐对了,情况有1种,所以P(X=3)=13!=16.所以X的分布列如下:X0123P1312016②求随机变量X的均值.E(X)=0×13+1×12+2×0+3×16=12+12=1.③求随机变量的方差.D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(2-1)2×0+(3-1)2×16=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一求离散型随机变量的方差【例1】袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)运用E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ)求a,b.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015则E(ξ)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,解得a=±2.因为E(η)=aE(ξ)+b,所以,当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.所以𝑎=2,𝑏=-2或𝑎=-2,𝑏=4即为所求.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定义求解,具体如下:①求均值;②求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解,具体如下:①若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,再转化成(1)中的情况.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的均值和方差;(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.解:(1)X的可能取值为0,1,2,P(X=k)=C2𝑘C43-𝑘C63,𝑘=0,1,2.X的分布列为X012P153515ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(2)由(1)得,X的均值与方差为E(X)=0×15+1×35+2×15=1.D(X)=(0-1)2×15+(1−1)2×35+(1−2)2×15=25.(3)由(1)知,“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=45.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二离散型随机变量的方差的性质及应用【例2】已知η的分布列为η010205060P1325115215115(1)求η的方差及标准差;(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16,∴D(η)=(0-16)2×13+(10−16)2×25+(20−16)2×115+(50−16)2×215+(60−16)2×115=384,∴𝐷(𝜂)=86.(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.反思对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知随机变量ξ的分布列为ξ01xP1213p若E(ξ)=23.(1)求D(ξ)的值;(2)若η=3ξ-2,求𝐷(𝜂)的值.解:因为12+13+𝑝=1,所以p=16.又因为E(ξ)=0×12+1×13+𝑥×16=23,所以x=2.(1)D(ξ)=0-232×12+1-232×13+2-232×16=1527=59.(2)因为η=3ξ-2,所以D(η)=D(3ξ-2)=9D(ξ),所以𝐷(𝜂)=9𝐷(𝜉)=5.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三方差在决策中的应用【例3】有A,B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:A种:XA110120125130135P0.1a2a0.10.2B种:其中XA,XB分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A,B两种钢筋哪一种质量好.XB100115125130145P0.10.20.40.1bZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得a=0.2,b=0.2.则XA,XB的分布列分别为XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四先比较它们的均值:E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,所以,它们的均值相同,再比较它们的方差:D(XA)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,D(XB)=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0