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-1-2.2.3独立重复试验与二项分布ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式.2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.3.了解二项分布与超几何分布的关系.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.知识拓展独立重复试验的特征:(1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变;(2)各次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立;(3)每次试验只有两个可能的结果:事件发生或者不发生.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1】独立重复试验应满足的条件是()①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结果;③每次试验中,事件发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的.A.①②B.②③C.①②③D.①②④解析:由独立重复试验的定义知①②③正确.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布,简记为X~B(n,p),并称p为成功概率.知识拓展1.在n次试验中,有些试验结果为A,有些试验结果为𝐴,所以总结果是几个A同几个𝐴的一种搭配,要求总结果中事件A恰好发生k次,就是k个A同n-k个𝐴的一种搭配,搭配种类为C𝑛𝑘;其次,每一种搭配发生的概率为pk·(1-p)n-k,所以P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k.2.P(X=k)是(q+p)n的展开式的第k+1项(其中q=1-p),也正是基于该原因,称X服从二项分布,简记为X~B(n,p).P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123.两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生),试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.从而二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2】若ξ~B5,12,则P(ξ=2)=()A.132B.14C.516D.58解析:P(ξ=2)=C52·122·123=10×132=516.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航如何理解二项分布与超几何分布的关系剖析由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这两个分布的关系是:在产品抽样检验中,如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.在实际工作中,抽样一般都采用不放回方式,因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布,但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值,计算相对复杂,而二项分布的计算可以查专门的数表,所以,当产品总数很大而抽样数不太大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【示例1】(1)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,不放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为.(用式子表示即可)(2)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,有放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为.(用式子表示即可)解析:(1)中的抽取为不放回抽取,符合超几何分布,故该空填C52C951C1003.(2)中的抽取为有放回抽取,符合独立重复试验的条件,可用二项分布,故该空填C32120219201.答案:(1)C52C951C1003(2)C32120219201ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【示例2】某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为,请完成此表.ξ012PZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航ξ012P0.90250.0950.0025解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,抽样数不大,则可用二项分布来解.所以ξ的分布列为答案:0.90250.0950.0025P(ξ=0)=C20×(0.05)0×(0.95)2=0.9025;P(ξ=1)=C21(0.05)1×(0.95)1=0.095;P(ξ=2)=C22(0.05)2×(0.95)0=0.0025.所以ξ的分布列为ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一独立重复试验概率的求法【例1】某人射击5次,每次中靶的概率均为0.9,且每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求他至少有2次中靶的概率.分析本题考查独立重复试验的概率.解答本题的关键是对“至少有2次中靶”这一事件的理解.它包含2次、3次、4次、5次中靶,且每一类情况之间都是互斥的,而每次射击是否击中目标相互之间没有影响,故可用互斥事件的概率公式和n次独立重复试验的概率公式计算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:方法一:事件“至少有2次中靶”包括事件“恰好有2次中靶”,事件“恰好有3次中靶”,事件“恰好有4次中靶”,事件“恰好有5次中靶”,且这些事件是彼此互斥的.因为他每次射击中靶的概率均相等,并且相互之间没有影响,所以每次射击又是相互独立事件,因而他射击5次是进行了5次独立重复试验.事件“在5次射击中恰好有2次中靶”的概率为C52×0.92×0.13;事件“在5次射击中恰好有3次中靶”的概率为C53×0.93×0.12;事件“在5次射击中恰好有4次中靶”的概率为C54×0.94×0.1;事件“在5次射击中恰好有5次中靶”的概率为C55×0.95;事件“至少有2次中靶”的概率为C52×0.92×0.13+C53×0.93×0.12+C54×0.94×0.1+C55×0.95=0.0081+0.0729+0.32805+0.59049=0.99954.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四方法二:因为他每次射击中靶的概率均相等,且相互之间没有影响,而这些事件是彼此互斥的,所以他射击5次是进行5次独立重复试验.“至少有2次中靶”的对立事件是“至多有1次中靶”,它包括事件“恰好有1次中靶”与事件“全部没有中靶”,显然这两个事件是互斥的.反思解答这类概率问题,首先要理解题意,建立相应的概率模型,然后用其对应的概率公式求解.如果是相互独立事件的概率模型,公式为pk(1-p)n-k;如果是n次独立重复试验概率模型,其公式为C𝑛𝑘pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).事件“在5次射击中恰好有1次中靶”的概率为C51×0.9×0.14;事件“在5次射击中全都没有中靶”的概率为0.15.故事件“至少有2次中靶”的概率为1-C51×0.9×0.14-0.15=1-0.00045-0.00001=0.99954.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:①3位病人都被治愈的概率为0.93;②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.其中正确结论的序号是.(把正确结论的序号都填上)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率,其概率为0.93,故①正确;由独立重复试验中,事件A发生的概率相同,故②正被治愈,可分为甲、乙被治愈,丙未被治愈或甲、丙被治愈,乙未被治愈,其概率为0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.9=2×0.92×0.1,故⑤错误.答案:①②④确;③中恰有2人被治愈的概率为P(X=2)=C32p2(1-p)=3×0.92×0.1,故③错误;④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈,故概率为C31×0.9×0.12=3×0.9×0.12,故④正确;⑤中恰有2人被治愈且甲ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二二项分布及其应用【例2】一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.分析:求解(1)可直接利用二项分布,求解(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)ξ~𝐵5,13,𝑃(𝜉=𝑘)=C5𝑘13𝑘235-𝑘,𝑘=0,1,2,3,4,5.所以变量ξ的分布列为ξ012345P32243802438024340243102431243(2)η的分布列为P(η=k)=P(前k个是绿灯,第k+1个是红灯)=23𝑘·13,𝑘=0,1,2,3,4;P(η=5)=P(5个均为绿灯)=235.故η的分布列为η012345P13294278811624332243ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.2.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X=k)=C𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘(𝑘=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点