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-1-2.2二项分布及其应用-2-2.2.1条件概率ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式.2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航条件概率(1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.(2)条件概率的性质:①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航知识拓展1.事件B在“事件A已发生”这个前提条件下的概率与没有这个条件的概率一般是不同的.2.此处的条件概率是指试验结果的一部分信息已知,求另一事件在此基础上发生的概率.若事件A为必然事件,则P(B|A)=P(B).3.要求P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间来计算,即P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝛺)𝑛(𝐴)𝑛(𝛺)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴).4.在公式P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)中,我们要注意变式应用,如P(AB)=P(B|A)P(A),P(A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵|𝐴).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】已知P(AB)=310,𝑃(𝐴)=35,则𝑃(𝐵|𝐴)=()A.950B.12C.910D.14解析:P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=31035=12.答案:B【做一做2】已知P(B|A)=13,𝑃(𝐴)=34,则𝑃(𝐴𝐵)等于()A.512B.112C.14D.15解析:由P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)得,P(AB)=P(B|A)·P(A)=13×34=14.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.如何从集合角度理解条件概率剖析如图,事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生),问落在B(事件B)中的概率.由于样本点已落在A中,且又要求落在B中,于是只能落在AB中,则其概率计算公式为P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)(P(A)0),类似地,P(A|B)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)(P(B)0).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.P(B|A)与P(B)样本空间的区别剖析如果随机试验的样本空间为Ω,那么讨论P(B|A)的样本空间是A,而P(B)的样本空间为Ω(即找准样本空间是解决问题的关键).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用P(B|A)=P(AB)P(A)求条件概率【例1】某个学习兴趣小组有学生10人,其中有3人是三好学生.现已把这10人分成两组进行竞赛辅导,第一小组5人,其中三好学生2人.如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长,那么这名同学恰好在第一小组内的概率是多少?现在要在这10人中任选一名三好学生当组长,问这名同学在第一小组的概率是多少?分析:本题实际上是一道简单的古典概型问题.在第二问中,由于任选的一名学生是三好学生,比第一问多了一个“附加的”条件,因此本题又是一个简单的条件概率题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:记A={在兴趣小组内任选一名同学当组长,该组长是三好学生},B={在兴趣小组内选一名同学当组长,该组长在第一小组},则第一问所求概率为P(B),第二问所求概率为P(B|A).∴P(B)=510=12,𝑃(𝐴)=310,𝑃(𝐴𝐵)=210=15.∴P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=15310=23.反思利用P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)求条件概率的一般步骤:(1)计算P(A);(2)计算P(AB)(A,B同时发生的概率);(3)用公式P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)计算P(B|A).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少需答对其中的4道题才可通过;至少需答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另1道题答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,则P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=C106C206+C105C101C206+C104C102C206=12180C206,P(ED)=P(E)=P(A)+P(B)=C106C206+C105C101C206=2730C206,P(E|D)=𝑃(𝐸𝐷)𝑃(𝐷)=273012180=1358,故在考试通过的情况下他获得优秀成绩的概率为1358.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二利用P(B|A)=n(AB)n(A)求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.分析:第(1)(2)问属于古典概型问题,可直接代入公式;第(3)问为条件概率,可以借用前两问的结论,也可以直接利用基本事件个数求解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)=A62=30,根据分步计数原理,n(A)=A41A51=20,于是P(A)=𝑛(𝐴)𝑛(𝛺)=2030=23.(2)因为n(AB)=A42=12,于是P(AB)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝛺)=1230=25.(3)方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=2523=35.方法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,所以P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=1220=35.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【互动探究】本例条件不变,试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到语言类节目的概率.解:设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到语言类节目为事件C,则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.方法一:P(C|A)=1-P(B|A)=1−35=25.方法二:n(A)=A41×A51=20,𝑛(𝐴𝐶)=A41×A21=8,∴P(C|A)=𝑛(𝐴𝐶)𝑛(𝐴)=820=25.反思根据公式P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)求条件概率的一般步骤:(1)利用列举法或排列组合的知识求出事件A包含的基本事件的个数n(A)和事件AB包含的基本事件的个数n(AB);(2)利用条件概率的计算公式P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)求出P(B|A).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)求概率【例3】在一个袋子中装有10个质地完全相同的球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球.从中依次摸出两个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.分析在第一个球是红球的条件下,分别求出第二个球是黄球和黑球的概率.再用互斥事件概率公式求得概率,也可用古典概型求概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:方法一:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C,则P(A)=110,P(AB)=1×210×9=145,P(AC)=1×310×9=130.∴P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=145110=1045=29,P(C|A)=𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐴)=130110=13.∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=29+13=59.∴所求的条件概率为59.方法二:∵n(A)=1×C91=9,n[(B∪C)∪A]=C21+C31=5,∴P(B∪C|A)=59.∴所求的条件概率为59.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即可求得复杂事件的概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】有外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,那么称试验为成功,求试验成功的概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},R={第二次取出的球是红球},W={第二次取出的球是白球},事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,故由概率