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-1-第二章随机变量及其分布-2-2.1离散型随机变量及其分布列ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.能根据离散型随机变量的意义,求出某些简单的离散型随机变量的分布列.3.通过实例,能对两点分布、超几何分布有所理解,理解其公式的推导过程,并能简单地运用.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.离散型随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.(2)随机变量和函数都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.知识拓展随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域(3)所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】下列随机变量中不是离散型随机变量的是()A.盒子里有除颜色不同,其他完全相同的红球和白球各5个,从中摸出3个球,白球的个数XB.小明答20道选择题答对的道数XC.某人早晨在车站等出租车的时间XD.某人投篮10次投中的次数X解析:选项A,B,D中的随机变量X的所有取值可以一一列出,因此是离散型随机变量.选项C中随机变量X可以取一个区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1232.离散型随机变量的分布列(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.用等式可表示为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,也可以用图象来表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②∑𝑖=1𝑛pi=1.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123归纳总结离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-1】已知随机变量ξ的分布列P(ξ=k)=12𝑘,k=1,2,3,…,则P(2ξ≤4)等于()A.316B.14C.116D.15解析:P(2ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=123+124=316.答案:AZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-2】随机变量X的分布列如下,则m等于()X1234P14m1316A.13B.12C.16D.14解析:由14+m+13+16=1,得m=14.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航X01P1-pp1233.两点分布与超几何分布(1)两点分布列为:若随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123(2)一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列X01…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶Nn为超几何分布列.若随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3-1】高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于C53C73C126的是()A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)答案:B解析:C53表示从5名“三好学生”中选择3名,从而P(X=3)=C53C73C126.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做3-2】在一次旅游目的地的投票选择中,令X=0,A地,1,B地.如果选择A地的概率为0.6,请你写出随机变量𝑋的分布列.分析:本题考查的是两点分布,结合分布列的性质即可求解.解:根据分布列的性质,选择B地的概率为1-0.6=0.4.则随机变量X的分布列为X01P0.60.4ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.如何辨别一个变量是不是离散型随机变量剖析首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,那么这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值可以按一定次序一一列出.辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一个连续区间上取值,还是所有取值可以一一列出.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.写离散型随机变量的分布列的步骤是什么剖析要写离散型随机变量的分布列,就要求出P(X=xi)(i=1,2,…,n),而P(X=xi)=pi,要求基本事件的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12求离散型随机变量的分布列的步骤:(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i=1,2,…,n);(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=pi;(3)列出表格.对随机变量的取值要分清是有限的还是无限的,若是无限的,则后面要用省略号表示.随机变量的分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.因此,可以针对不同的变量选择恰当的表示方式.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型一离散型随机变量的判定【例1】指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数X.(2)高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X.(3)某林场中的树木最高达30m,则此林场中树木的高度X.分析:根据离散型随机变量的特征进行判定.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)是离散型随机变量.因为只要取出一张,便有一个号码,所以被取出的卡片号数X可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(2)是离散型随机变量.因为收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限且可一一列出,符合离散型随机变量的定义.(3)不是离散型随机变量,因为林场中树木的高度X是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量.反思离散型随机变量的特征:(1)可用数值表示;(2)试验之前可以判断其出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值;(4)试验结果能一一列出.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)某超市5月份每天的销售额ξ.(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ.(3)某长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.解:(1)是离散型随机变量.某超市5月份每天的销售额ξ可以一一列出,故为离散型随机变量.(2)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值ξ无法一一列出,不是离散型随机变量.(3)不是离散型随机变量,该水位检测站所测水位ξ在(0,29]这一范围内变化,不能一一列出,故不是离散型随机变量.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五题型二离散型随机变量的分布列【例2】袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,现从袋中随机取3个球,设ξ表示取出3个球中的最大号码,求ξ的分布列.分析确定随机变量ξ的所有可能取值,分别求出ξ取各值的概率.解:根据题意,随机变量ξ的所有可能取值为3,4,5,6.ξ=3,即取出的3个球中最大号码为3,其他2个球的号码为1,2,所以,P(ξ=3)=C22C63=120;ξ=4,即取出的3个球中最大号码为4,其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取,所以,P(ξ=4)=C32C63=320;ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五ξ=5,即取出的3个球中最大号码为5,其他2个球可以在号码为1,2,3,4的4个球中取,所以,P(ξ=5)=C42C63=310;ξ=6,即取出的3个球中最大号码为6,其他2个球可以在号码为1,2,3,4,5的5个球中取,所以,P(ξ=6)=C52C63=12.所以,随机变量ξ的分布列为ξ3456P12032031012反思求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量X表示方程x2+bx+c=0的实根的个数(重根按一个计),求X的分布列.解:由题意,X的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b,c)|b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素总个数为36.X=0对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c0,b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,