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-1-三反证法与放缩法目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.掌握反证法和放缩法的依据.2.会利用反证法和放缩法证明有关不等式.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-1】否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,应假设()A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案：D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-2】要证明“a,b至少有一个为正数”,用反证法假设应为.答案：a,b全为非正数目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.归纳总结放缩法的常用技巧:舍去或加进一些代数式,放大或缩小分子或分母,运用重要不等式,利用函数的单调性、值域等.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】A=1+12+13+⋯+1𝑛与𝑛(𝑛∈N+)的大小关系是.解析：A=11+12+13+⋯+1𝑛≥1𝑛+1𝑛+…+1𝑛共𝑛项=nn=n.答案：A≥𝑛知识梳理重难聚焦典例透析目标导航121.反证法中的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反证法.下面我们列举以下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是没有全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个及以上是有不全不都是知识梳理重难聚焦典例透析目标导航12对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.放缩法的尺度把握等问题剖析：(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的值域等.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航12(2)放缩法使用的主要方法.放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如,舍去或加上一些项:𝑎+122+34𝑎+122;将分子或分母放大(缩小):1𝑘21𝑘(𝑘-1),1𝑘21𝑘(𝑘+1),1𝑘2𝑘+𝑘-1,1𝑘2𝑘+𝑘+1(𝑘∈R,k1)等.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型一利用反证法证明不等式【例1】若a3+b3=2,求证:a+b≤2.分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法.证法一：假设a+b2,则a2-b,故2=a3+b3(2-b)3+b3,即28-12b+6b2,即(b-1)20,这不可能,从而a+b≤2.证法二：假设a+b2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2.∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2).∴a2-ab+b2ab,即(a-b)20.这不可能,故a+b≤2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三证法三：假设a+b2,而a2-ab+b2=𝑎-12𝑏2+34𝑏2≥0,但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,∴a2-ab+b20.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b21.∴1+aba2+b2≥2ab.从而ab1.∴a2+b21+ab2.∴(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.而由假设a+b2,得(a+b)24,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.反思利用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式:(1)与已知矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与显然成立的事实矛盾.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】设a,b∈N+,0≤x,y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y使|xy-ax-by|≥13成立.证明：假设对一切0≤x,y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|13.令x=0,y=1,得|b|13;令x=1,y=0,得|a|13;令x=y=1,得|1-a-b|13.又|1-a-b|≥1-|a|-|b|1−13−13=13矛盾,故假设不成立,原命题结论正确.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【例2】设二次函数f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.分析：当要证明的几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法.证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2.①另一方面,由绝对值不等式的性质,有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2.②①②两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思1.在证明中含有“至多”“至少”“最多”等词语时,常使用反证法证明.2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此,在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知a0,b0,且a+b2.求证:1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏中至少有一个小于2.证明：假设1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏都不小于2,则1+𝑏𝑎≥2,1+𝑎𝑏≥2.因为a0,b0,所以1+b≥2a,1+a≥2b.所以2+a+b≥2(a+b),即2≥a+b,这与a+b2矛盾.故假设不成立,即1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏中至少有一个小于2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型二利用放缩法证明不等式【例3】若n是大于1的自然数,求证:112+122+132+⋯+1𝑛22.分析：利用1𝑛21𝑛(𝑛-1)=1𝑛-1−1𝑛,𝑛=2,3,4,…,n进行放缩证明.证明：∵1𝑘21𝑘(𝑘-1)=1𝑘-1−1𝑘,𝑘=2,3,4,…,n,∴112+122+132+⋯+1𝑛211+11×2+12×3+⋯+1(𝑛-1)·𝑛=11+11-12+12-13+⋯+1𝑛-1-1𝑛=2−1𝑛2.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三反思1.利用放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换,即欲证ab,可换成证ac,且cb;欲证ab,可换成证ac,且cb.2.放缩法原理简单,但技巧性较强且有时还会有“危险”,由于放大或缩小过头,就会得出错误的结论,而达不到预期的目的,因此,在使用放缩法时要注意放缩的“度”.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】求证:1×2+2×3+⋯+𝑛(𝑛+1)(𝑛+1)22(𝑛∈N+).证明：当k∈N+时,𝑘(𝑘+1)𝑘+(𝑘+1)2=𝑘+12.故1×2+2×3+⋯+𝑛(𝑛+1)1+12+2+12+⋯+𝑛+12=𝑛(𝑛+1)2+𝑛2=𝑛2+2𝑛2(𝑛+1)22.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型三易错辨析易错点证明不等式时放缩不当致错【例4】已知实数x,y,z不全为零.求证:𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2+𝑧2+𝑧𝑥+𝑥232(𝑥+𝑦+𝑧).错解：2(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2+𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2)𝑥2+𝑥𝑦+𝑥𝑦+𝑦2+𝑦2+𝑦𝑧+𝑦𝑧+𝑧2+𝑧2+𝑥𝑧+𝑥𝑧+𝑥2=𝑥𝑥+𝑦+𝑦𝑥+𝑦+𝑦𝑦+𝑧+𝑧𝑦+𝑧+𝑧𝑥+𝑧+𝑥𝑥+𝑧=(𝑥+𝑦)𝑥+𝑦+(𝑦+𝑧)·𝑦+𝑧+(𝑥+𝑧)𝑥+𝑧,无法证出结论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三错因分析：出现放缩过大而达不到预想目的,造成这种现象的原因是对放缩法理解不透或没掌握好放缩的技巧.正解：𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2=𝑥+𝑦22+34𝑦2≥𝑥+𝑦22=𝑥+𝑦2≥x+𝑦2.同理可得𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2≥y+𝑧2,𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2≥z+𝑥2,由于x,y,z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式累加得:𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2+𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2𝑥+𝑦2+𝑦+𝑧2+𝑧+𝑥2=32(𝑥+𝑦+𝑧).知识梳理重难聚焦典例透析目标导航